|x - 3| + 1 > 2x
I sposób - przekształcenie równoważnościowe nierówności
|x - 3| + 1 > 2x
|x - 3| > 2x - 1
x - 3 > 2x - 1 lub x - 3 < - (2x - 1)
x - 3 > 2x - 1
x - 2x > - 1 + 3
- x > 2 /·(- 1)
x < - 2
czyli x ∈ (- ∞; - 2)
x - 3 < - (2x - 1)
x - 3 < - 2x + 1
x + 2x < 1 + 3
3x < 4 /: 3
x < ⁴/₃
x < 1⅓
czyli x ∈ (- ∞; 1⅓)
Zbiór rozwiązań nierówności |x - 3| + 1 > 2x jest równy sumie otrzymanych zbiorów:
x ∈ (- ∞; - 2) u (- ∞; 1⅓) = (- ∞; 1⅓), czyli x < 1⅓
Odp. x < 1⅓
II sposób - z def. wartości bezwzględnej
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1° |x - 3| = x - 3 dla x - 3 ≥ 0, czyli dla x ≥ 3, zatem dla x ∈ <3; + ∞) i w tym przedziale nierówność ma postać:
x - 3 + 1 > 2x
x - 2 > 2x
x - 2x > 2
- x > 2 /·(- 1)
x < - 2, czyli x ∈ (- ∞; - 2)
Uwzględniając założenie, że x ∈ <3; + ∞) otrzymujemy:
x ∈ (- ∞; - 2) n <3; + ∞) = Ф
2° |x - 3| = - (x - 3) = - 3 + 3 dla x - 3 < 0, czyli dla x < 3, zatem dla x ∈ (- ∞; 3) i w tym przedziale nierówność ma postać:
- x + 3 + 1 > 2x
- x + 4 > 2x
- x - 2x > - 4
- 3x > - 4 /:(- 4)
x < ⁴/₃
x < 1⅓, czyli x ∈ (- ∞; 1⅓)
Uwzględniając założenie, że x ∈ (- ∞; 3) otrzymujemy:
x ∈ (- ∞; 1⅓) n (- ∞; 3) = (- ∞; 1⅓)
Zbiór rozwiązań nierówności |x - 3| + 1 > 2x jest równy sumie otrzymanych zbiorów, czyli x ∈ Ф u (- ∞; 1⅓) = (- ∞; 1⅓), czyli x < 1⅓
Odp. x < 1⅓