pomocą równania ogólnego prostej k: Ax+By+C=0 i współrzędnych punktu P(x₀, y₀) udowodnij, że odległość punktu od prostej wyraża się wzorem, który jest w załączniku.
P(x₀,y₀)
prosta k: Ax+By+C=0
Wyprowadzamy wzór na odległość punktu od prostej.
Dowód:
Wystarczy wykazać, że wektor [A,B] jest wektorem normalnym prostej k ( czyli do niej prostopadłym)
Jeśli znajdziemy inny wektor na prostej do której jest on prostopadły ( czyli iloczyn skalarny tych wektorów będzie wynosił 0) to już będzie ok.
Udowodnię, że wektor XY o końcach X=(0,-C/B) oraz Y=(1, (-C-A)/B )
jest prostopadły do [A,B] oraz, że punkty Xi Y leżą na prostej k ( spr. przykładowo X
czyli A* 0 +B*(-C/B)+C=0 zgadza się , podobnie spr. punkt Y).
wektor XY ma wspłrzędne:
XY=[1, (-C-A)/B+C/B ]=[1,-A/B]
liczę iloczyn skalarny aby udowadnić prostopadłość:
wektor XY @ [A,B]=[1,-A/B] @ [A,B]=A-A=0
czyli iloczyn skalarny =0, więc wektory XY i [A,B] są prostopadłe
Niech D(x,y) punkt na prostej k, taki że wektor DPjest prostopadły do k
zatem wektor DP jest równoległy do [A,B]
czyli: DP=a[A,B]
[x₀-x,y₀-y]=[aA,aB]
więc:
x₀-x=aA
y₀-y=aB
x=x₀-aA
y=y₀-aB
ponieważ D(x,y) leży na prostej k, więc spełnia równanie tej prostej, zatem:
A(x₀-aA)+B(y₀-aB)+C=0
Ax₀-aA²+By₀-aB²+C=0
a(A²+B²)=Ax₀+By₀+C
czyli
a=(Ax₀+By₀+C)/(A²+B²)
SZukana odległość punktu P od prostej k
d(P,k)=Idł. wektora DP I=√(aA)²+(aB)²=√a²A²+a²B²=a√A²+B²=
I(Ax₀+By₀+C)/(A²+B²)I*√A²+B²=I(Ax₀+By₀+C)I /√A²+B² cnd
