[tex]\\q^4=\frac{a_6}{a_4} \\q^4=\frac{243}{3}=81 \\q=3 \ \vee \ q=-3 \\S_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q} \\1. \ dla \ q=3 , \ a_1=1 \\S_8=1*\frac{1-3^8}{1-3}=\frac12(6561-1)=3280 \\2. \ dla \ q=-3 , \ a_1=-1\\S_8=-\frac{1-(-3)^8}{1+3}=-\frac14(1-6561)=6560:4=1640[/tex]
Aby obliczyć sumę 8 wyrazów tego ciągu należy obliczyć wartość pierwszego wyrazu i ilorazu tego ciągu. Wartość pierwszego wyrazu i ilorazu tego ciągu znajdujemy za pomocą układu równań, z wykorzystaniem wzoru ogólnego ciągu geometrycznego:
[tex]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}[/tex]
[tex]\left \{ {{a_{2}=3} \atop {a_{6}=243}} \right.\\\left \{ {{a_{1}*q=3} \atop {a_{1}*q^{5}=243}} \right.\\\left \{ {{a_{1}=\frac{3}{q}} \atop {a_{1}*q^{5}=243}} \right.\\\left \{ {{a_{1}=\frac{3}{q}} \atop {\frac{3}{q}*q^{5}=243}} \right.\\\left \{ {{a_{1}=\frac{3}{q}} \atop {3*q^{4}=243 \ \ \ /:3}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{a_{1}=\frac{3}{q}} \atop {q^{4}=81}} \right.\\\left \{ {{a_{1}=\frac{3}{q}} \atop {q=3}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_{1}=\frac{3}{q}} \atop {q=-3}} \right.\\\left \{ {{a_{1}=\frac{3}{3}} \atop {q=3}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_{1}=\frac{3}{-3}} \atop {q=-3}} \right.\\\left \{ {{a_{1}=1} \atop {q=3}} \right. \ lub \ \left \{ {{a_{1}=-1} \atop {q=-3}} \right.[/tex]
Korzystamy ze wzoru na sumę częściową ciągu geometrycznego:
[tex]S_{n}=a_{1}*\frac{1-q^{n}}{1-q} [/tex]
Obliczamy sumę 8 wyrazów tego ciągu dla q=3:
[tex]a_{1}=1\\q=3\\\\S_{8}=a_{1}*\frac{1-q^{8}}{1-q}\\\\S_{8}=1*\frac{1-3^{8}}{1-3}\\\\S_{8}=1*\frac{1-6561}{-2}\\\\S_{8}=1*\frac{-6560}{-2}\\\\S_{8}=1* 3280\\S_{8}=3280[/tex]
Suma 8 wyrazów tego ciągu dla q=3 jest równa 3280
Obliczamy sumę 8 wyrazów tego ciągu dla q= -3:
[tex]a_{1}=-1\\q=-3\\\\S_{8}=a_{1}*\frac{1-q^{8}}{1-q}\\\\S_{8}=-1*\frac{1-(-3)^{8}}{1-(-3)}\\\\S_{8}=-1*\frac{1-6561}{1+3}\\\\S_{8}=-1*\frac{-6560}{4}\\\\S_{8}=-1*(-1640)\\S_{8}=1640[/tex]
Suma 8 wyrazów tego ciągu dla q= -3 jest równa 1640