Obwód prostokąta wynosi 80 cm. Jeżeli dłuższy bok skrócimy o 5 cm, a krótszy wydłużymy o 5 cm to otrzymamy kwadrat. Oblicz pole i długość przekątnej prostokąta. (ukł. równań!)

Początkowo mamy prostokąt o bokach a i b.
Wzór na pole prostokąta to: 2a + 2b
W zadaniu mamy podane, że obwód wynosi 80cm.
Zatem możemy ułożyć pierwsze równanie:

2a+2b=80

Teraz zajmijmy się drugą częścią zadania.
"Jeśli dłuższy bok skrócimy o 5 cm..."
Zróbmy to:
a-5 nowy bok
"A krótszy wydłużymy o 5cm" czyli:
b+5 drugi nowy bok
"To otrzymamy kwadrat"
Jaką własność ma kwadrat? Ma wszystkie boki równe. Czyli pierwszy bok : a-5 i ten drugi b+5 są sobie równe. Układamy drugie równanie:

a-5=b+5

Otrzymujemy układ równań:

2a+2b=80
a-5=b+5

Teraz wystarczy go rozwiązać. Proponuję najpierw podzielić pierwsze równanie przez 2, a drugie uporządkować (niewiadome na lewą stronę, wiadome na prawą).

2a+2b=80 /: 2
a-5=b+5

a+b=40
a-b=10

Powyższe równanie najłatwiej jest rozwiązać metodą przeciwnych współczynników, ale na wszelki wypadek rozwiąże je na dwa sposoby.
Pierwsza metoda: przeciwnych współczynników

a+b=40
a-b=10

2a=50 /:2
a+b=40

a=25
b=15

Druga metoda: podstawiania

a+b=40
a-b=10

a+b=40
a=10+b Podstawiamy do pierwszego równania...

10+b+b=40 Porządkujemy i redukujemy...
a=10+b

2b=30 /:2
a=10+b

b=15
a=25

Sprawdźmy z warunkami zadania:
2*15 +2*25=80 (obwód)
30+50=80
80=80 Zgadza się

25-5=15+5
20=20

Teraz pole:
P=a*b
P=25*15
p=375 cm²

Przekątną obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
a²+b²=c²
Naszym c jest przekątna.
25² + 15² = c²
625 + 225 = c²
c²=850
c=pierwiastek z 850
Odp.: Pole tego prostokąta wynosi 375 cm² a jego przekątna pierwiastek z 850cm.

Proszę o poprawienie w przypadku pomyłki.
Pozdrawiam