Odpowiedź :
Ciąg arytmetyczny: a₁, a₂, a₃
Ciąg geometryczny: b₁, b₂, b₃
Warunki:
1° a₁ · b₁ = 1
2° a₂ · b₂ = 4
3° a₃ · b₃ = 12
4° a₁ + a₂ + a₃ = 6
Jeśli ciąg (a₁, a₂, a₃) jest arytmetyczny, to: a₂ = a₁ + r i a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego oraz wyraz a₂ jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących, czyli wyrazów a₁ i a₃:
[tex]a_2 = \frac{a_1+a_3}{2} \ / \cdot 2 \\\\ 2a_2 = a_1 + a_3 \\\\ a_1 + a_3 = 2a_2[/tex]
Stąd i z warunku 4° otrzymujemy:
a₁ + a₂ + a₃ = 6
a₁ + a₃ + a₂ = 6
2a₂ + a₂ = 6
3a₂ = 6 /:3
a₂ = 2
Zatem:
a₂ = a₁ + r
a₁ + r = 2
a₁ = 2 - r
a₃ = a₂ + r
a₃ = 2 + r
Z warunku 2° otrzymujemy:
a₂ · b₂ = 4
2 · b₂ = 4 /:2
b₂ = 2
Jeśli ciąg (b₁, b₂, b₃) jest geometryczny, to: b₂ = b₁ · q i b₃ = b₂ · q, gdzie q to iloraz ciągu geometrycznego oraz na podstawie warunków 1° - 3° stwierdzamy, że q ≠ 0 .
Stąd:
[tex]b_2 = b_1 \cdot q \\\\ 2 = b_1 \cdot q \ /:q \\\\ b_1 = \frac{2}{q}[/tex]
i
[tex]b_3 = b_2 \cdot q \\\\ b_3 = 2q[/tex]
Zatem z warunku 1° i 3° otrzymujemy:
[tex]\left \{ {{a_1 \cdot b_1 = 1} \atop {a_3 \cdot b_3 = 12}} \right. \\\\ \left \{ {{(2 - r) \cdot \frac{2}{q} = 1 \ / \cdot q} \atop {(2 + r) \cdot 2q= 12 \ /:2}} \right. \\\\ \left \{ {{(2 - r) \cdot 2 = q} \atop {(2 + r) \cdot q= 6}} \right. \\\\ \left \{ {{q = (2 - r) \cdot 2} \atop {(2 + r) \cdot (2 - r) \cdot 2 = 6 \ / \:2}} \right. \\\\ \left \{ {{q = (2 - r) \cdot 2} \atop {(2 + r) \cdot (2 - r) = 3}} \right.[/tex]
Rozwiązujemy drugie równanie układu:
[tex](2 + r) \cdot (2 - r) = 3 \\\ 4 - r^2 = 3 \\\ - r^2 = 3 - 4 \\\ -r^2 = - 1 \ / \cdot(-1) \\\ r^2 = 1 \\\ r_1 = 1 \ \wedge \ r_2 = - 1[/tex]
Stąd:
[tex]\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = (2 - r_1) \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 - r_2) \cdot 2}} \right. \\\\ \left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = (2 - 1) \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 - (-1)) \cdot 2}} \right. \\\\ \left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 1 \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 +1) \cdot 2}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = 3 \cdot 2}} \right. \\\\ \left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = 6}} \right.[/tex]
Zatem:
Dla r = 1 i q = 2 otrzymujemy:
[tex]a_1 = 2 - r = 2 - 1 = 1 \\\ a_3 = 2 + r = 2 + 1 = 3 \\\\ b_1 = \frac{2}{q} = \frac{2}{2} = 1 \\\ b_3 = 2q = 2 \cdot 2 = 4[/tex]
Dla r = - 1 i q = 6 otrzymujemy:
[tex]a_1 = 2 - r = 2 - (-1) = 2+1 = 3 \\\ a_3 = 2 + r = 2 + (-1) = 2-1=1 \\\\ b_1 = \frac{2}{q} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\\ b_3 = 2q = 2 \cdot 6 = 12[/tex]
Stąd otrzymujemy następujące ciągi spełniające warunki zadania:
- ciąg arytmetyczny: [tex]1; \ 2; \ 3[/tex] i ciąg geometryczny: [tex]1; \ 2; \ 4[/tex]
- ciąg arytmetyczny: [tex]3; \ 2; \ 1[/tex] i ciąg geometryczny: [tex]\frac{1}{3}; \ 2; \ 12[/tex]
Ciąg geometryczny: b₁, b₂, b₃
Warunki:
1° a₁ · b₁ = 1
2° a₂ · b₂ = 4
3° a₃ · b₃ = 12
4° a₁ + a₂ + a₃ = 6
Jeśli ciąg (a₁, a₂, a₃) jest arytmetyczny, to: a₂ = a₁ + r i a₃ = a₂ + r = a₁ + 2r, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego oraz wyraz a₂ jest średnią arytmetyczną wyrazów z nim sąsiadujących, czyli wyrazów a₁ i a₃:
[tex]a_2 = \frac{a_1+a_3}{2} \ / \cdot 2 \\\\ 2a_2 = a_1 + a_3 \\\\ a_1 + a_3 = 2a_2[/tex]
Stąd i z warunku 4° otrzymujemy:
a₁ + a₂ + a₃ = 6
a₁ + a₃ + a₂ = 6
2a₂ + a₂ = 6
3a₂ = 6 /:3
a₂ = 2
Zatem:
a₂ = a₁ + r
a₁ + r = 2
a₁ = 2 - r
a₃ = a₂ + r
a₃ = 2 + r
Z warunku 2° otrzymujemy:
a₂ · b₂ = 4
2 · b₂ = 4 /:2
b₂ = 2
Jeśli ciąg (b₁, b₂, b₃) jest geometryczny, to: b₂ = b₁ · q i b₃ = b₂ · q, gdzie q to iloraz ciągu geometrycznego oraz na podstawie warunków 1° - 3° stwierdzamy, że q ≠ 0 .
Stąd:
[tex]b_2 = b_1 \cdot q \\\\ 2 = b_1 \cdot q \ /:q \\\\ b_1 = \frac{2}{q}[/tex]
i
[tex]b_3 = b_2 \cdot q \\\\ b_3 = 2q[/tex]
Zatem z warunku 1° i 3° otrzymujemy:
[tex]\left \{ {{a_1 \cdot b_1 = 1} \atop {a_3 \cdot b_3 = 12}} \right. \\\\ \left \{ {{(2 - r) \cdot \frac{2}{q} = 1 \ / \cdot q} \atop {(2 + r) \cdot 2q= 12 \ /:2}} \right. \\\\ \left \{ {{(2 - r) \cdot 2 = q} \atop {(2 + r) \cdot q= 6}} \right. \\\\ \left \{ {{q = (2 - r) \cdot 2} \atop {(2 + r) \cdot (2 - r) \cdot 2 = 6 \ / \:2}} \right. \\\\ \left \{ {{q = (2 - r) \cdot 2} \atop {(2 + r) \cdot (2 - r) = 3}} \right.[/tex]
Rozwiązujemy drugie równanie układu:
[tex](2 + r) \cdot (2 - r) = 3 \\\ 4 - r^2 = 3 \\\ - r^2 = 3 - 4 \\\ -r^2 = - 1 \ / \cdot(-1) \\\ r^2 = 1 \\\ r_1 = 1 \ \wedge \ r_2 = - 1[/tex]
Stąd:
[tex]\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = (2 - r_1) \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 - r_2) \cdot 2}} \right. \\\\ \left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = (2 - 1) \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 - (-1)) \cdot 2}} \right. \\\\ \left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 1 \cdot 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = (2 +1) \cdot 2}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = 3 \cdot 2}} \right. \\\\ \left \{ {{r_1 = 1} \atop {q_1 = 2}} \right. \ \wedge \ \left \{ {{r_2 = - 1} \atop {q_2 = 6}} \right.[/tex]
Zatem:
Dla r = 1 i q = 2 otrzymujemy:
[tex]a_1 = 2 - r = 2 - 1 = 1 \\\ a_3 = 2 + r = 2 + 1 = 3 \\\\ b_1 = \frac{2}{q} = \frac{2}{2} = 1 \\\ b_3 = 2q = 2 \cdot 2 = 4[/tex]
Dla r = - 1 i q = 6 otrzymujemy:
[tex]a_1 = 2 - r = 2 - (-1) = 2+1 = 3 \\\ a_3 = 2 + r = 2 + (-1) = 2-1=1 \\\\ b_1 = \frac{2}{q} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\\ b_3 = 2q = 2 \cdot 6 = 12[/tex]
Stąd otrzymujemy następujące ciągi spełniające warunki zadania:
- ciąg arytmetyczny: [tex]1; \ 2; \ 3[/tex] i ciąg geometryczny: [tex]1; \ 2; \ 4[/tex]
- ciąg arytmetyczny: [tex]3; \ 2; \ 1[/tex] i ciąg geometryczny: [tex]\frac{1}{3}; \ 2; \ 12[/tex]
