Rozwiązane

> 1)Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono
> 61 zł. Za pierwszą i drugą razem zapłacono o 11 zł więcej niż za
> trzecią. Ile zapłacono za każdą książkę?
>
> 2) Znajdż trzy liczby tworzące ciąg geometryczny, który ma
> własność: jeśli do drugiego dodamy 8, ciąg zmieni się na
aytmetyczny,
> jeśli do ostatniego wyrazu nowego ciągu dodamy 64, ciąg znowu stanie
> się geometryczny.
>
> 3) Z czterech liczb trzy początkowe tworzą ciąg geometryczny, a trzy
> końcowe - ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby, jeśli suma liczb
> pierwszej i ostatniej równa się 14, suma drugiej i trzeciej 12.
>
> an=a1+(n-1)r - wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
>
> an=a1+qn-1 - wzór na ogólny wyraz ciągu geometrycznego
>
>



Odpowiedź :

c. geometryczny

a₁
a₂=a₁q
a₃=a₁q²
S₃=61
{a₁+a₁q=a₁q²+11
{a₁+a₂+a₃=61

{a₁+a₁q-a₁q²=11
{a₁+a₁q+a₁q²=61

{a₁(1+q-q²)=11
{a₁(1+q+q²)=61

{a₁=11:(1+q-q²)
{a₁=61:(1+q+q²)

11:(1+q-q²)=61:(1+q+q²)
11(1+q+q²)=61(1+q-q²)
11+11q+11q²=61+61q-61q²
-72q²+50q+50=0
-36q²+25q+25=0
Δ=25²-4*(-36)*25=625+3600=4225
√Δ=65
q₁=(-25-65):(-72)=90/72=5/4
q₂=(-25+65):(-72)=40/(-72)=-5/9 odrzucamy

a₁=61:(1+5/4+(5/4)²)=61:(2¼+25/16)=61:(2 4/16+25/16)=
61:2 29/16=61:61/16=16

a₂=16*5/4=20
a₃=20*5/4=25

cena 16, 20,25

2.
c.geometryczny
b₁=b
b₂=bq
b₃=bq²

c.arytmetyczny
a₁=b₁ = b
a₂=b₂+8 =bq+8
a₃=b₃=bq²

c.geometryczny
c₁=b₁=b
c₂=b₂+8=bq+8
c₃=b₃+64=bq²+64

z arytmetycznego
a₂-a₁=a₃-a₂
bq+8-b=bq²-bq-8
bq²-2bq+b-16=0
b(q²-2q+1)-16=0
b(q²-2q+1)=16
q²-2q+1=16/b

z drugiego geometrycznego mamy
c₂:c₁=c₃:c₂
(bq+8):b=(bq²+64):(bq+8)
(bq+8)²=b(bq²+64)
b²q² +16bq+64=b²q²+64b
16bq-64b+64=0
bq-4b+4=0
b(q-4)=-4
b=-4/(q-4)
b=4/(4-q)

podstawiamy to do arytmetycznego
q²-2q+1=16/[4/(4-q)]
q²-2q+1=16*(4-q)/4
q²-2q+1=4*(4-q)
q²-2q+1=16-4q
q²+2q-15=0
Δ=2²-4*(-15)=4+60=64
√Δ=8

q₁=(-2-8)/2=-5
q₂=(-2+8)/2=3

podstawiamy b
b=4/(4-q)
i otrzymujemy dwie możliwości wyrazów tego ciągu
b₁=4/(4+5)=4/9 dla q₁=-5
b₂=4/9*(-5)=-20/9=-2 2/9
b₃=-20/9*(-5) = 100/9=11 1/9

lub

b₁=4/(4-3)=4 dla q₂=3
b₂=4*3=12
b₃=12*3=36


3.
a - pierwsza liczba
b- druga
c - trzecia
d - czwarta

a+d=14 a=14-d
b+c=12 b=12-c

c.geometryczny
b₁=a=14-d
b₂=b=12-c
b₃=c

b₂:b₁=b₃:b₂
(12-c):(14-d)=c:(12-c)
c(14-d)=(12-c)²
14c-cd=144-24c+c²
c²-38c+cd+144=0

c.arytmetyczny
a₁=b=12-c
a₂=c
a₃=d

a₂-a₁=a₃-a₂
c-(12-c)=d-c
c-12+c=d-c
2c-12=d-c
d=3c-12

i podstawiamy do tego
c²-38c+cd+144=0
c²-38c+c(3c-12)+144=0
c²-38c+3c²-12c+144=0
4c²-50c+144=0
Δ=2500-4*144*4=2500-2304=196
√Δ= 14
c₁=(50-14):8=36:8=4,5
c₂=(50+14):8= 64:8=8


c=4,5
d=3*4,5-12=1,5
a=14-1,5=12,5
b=12-4,5=7,5

lub
c=8
d=3*8-12=12
a=14-12=2
b=12-8=4

Inne Pytanie