zad 1
Dane są funkcje f(x)=|x| oraz g(x)=1/x-1 (/ to kreska ułamkowa(
Wyznacz te argumenty x, dla których funkcja f osiąga wartości mniejsze niż funkcja g. Narysuj wykresu obu funkcji we wspólnym układzie współrzędnych i sprawdź poprawnośc rozwiązania.
IxI<1/x-1 x≈1
x<1/x-1 gdy x≥0
-x<1/x-1, gdy x<0
x- 1/x-1<0 wtw [x(x-1)-1]/(x-1)<0wte(x-1)*[x²-x-1]<0
x=1odpada , Δ=1+4=5, √Δ=√5 x=1-√5/2, x=1+√5/2
wykres
na osi zaznaczamy po kolei 1-√5/2, 1 , 1+√5/2
falka od prawej od góry oraz x≥0 i x≠1
x∈(1, 1+√5/2
-x<1/x-1, gdy x<0
1/(x-1) +x>0
[1+x(x-1)]/(x-1)>0
(x-1)*[x²-x+1]>0
x=1 odpada, Δ<0
na osi tylko x=1 , bo [x²-x+1]>0 zawsze
x>1 ale z zał. x<0 więc otrzymujemy sprzeczność
odp. x∈(1, 1+√5/2
wykres do zad.
rysujesz y=IxI
to jest takie V punkty: (0,0),(1,1), (2,2), (-1,1), (-2,2), itd
terz y=1/x-1
hiperbola y=1/x przesunięta w prawo o1, czyli x=1 asymptota
przecinają się tylko raz w punkcie ( 1+√5/2, 1+√5/2)
1/x-1 jest powyżej IxI od 1 do 1+√5/2
zgadza się.
zad 2
Naszikicuj wykresy funkcji (/ to kreska ułamkowa)
a) f(x)=-2|x|-1 / |x| + 2
f(x)={ -2x-1/x+2 dla x≥o
2x-1/-x+2 dla x<0
f(x)={ -2(x+2)+3/x+2 dla x≥o
2x-1/-(x-2) dla x<0
f(x)={ -2 +3/x+2 dla x≥o
-2(x+2)+5 /(x-2) dla x<0
f(x)={ -2 +3/x+2 dla x≥o
-2 +5 /(x-2) dla x<0
dla x dodatnich i zera rysujemy więc hiperbolę y=3/x przesuniętą o
wektor [-2,-2], a dla ujemnych x wykres y=5/x przesunięty o wektor [2,-2]
asymptoty pionowe x=2, x=-2
poziome y=-2
b) f(x) = |x+1| / x - |x-1| / x x≠0
f(x) = {x+1-x+1 /x dla x≥ 1
x+1 +x-1 /x dla x∈(-11)\{0}
-x-1+x-1 /x dla x<-1
f(x) = {2x+2 /x dla x≥ 1
2x /x dla x∈(-11)\{0}
-2x-2 /x dla x<-1
f(x) = {2+ 2 /x dla x≥ 1
2 dla x∈(-11)\{0}
-2 -2 /x dla x<-1
kawałki hiperboli w danych przedziałach przesuwane w górę odpowiednio, a dla (-11)\{0} stała na y=2
asymptota pionowa x=0
Zad 3
Dane są funkcje f(x)=2x+b / ax+1 oraz g(x)=ax+c / ax+1
Ich wykresy mają punkt wspólny P(11, 19/12), miejscem zerowym funkcji g jest liczba -8
a) wyznacz wartości parametru a,b,c
19/12=22+b/11a+1
19/12=11a+c/11a+1
-8a+c=0→→c=8a
19/12=22+b/11a+1
19/12=11a+8a/11a+1
19/12=22+b/11a+1
19/12=19a/11a+1→→a=1→→c=8
19/12=22+b/11+1→→b=-3
czyli: a=1, b=-3, c=8
b) dla wyznaczonych wartości a,b,c rozwiąz nierówność 2x+b / ax+1 < ax+c/ax+1
2x+b / ax+1 < ax+c/ax+1
2x-3 / x+1 < x+8/x+1
2x-3 / x+1 - x+8/x+1<0
(2x-3-x-8)/(x+1)<0
x-11/x+1<0
(x+1)(x-11)<0
x=-1, x=11 parabola ramiona w górę x∈(-1,11)
c) narysuj wykres funkcji y=f(|x|) i na jego podstawie ustal liczbe rozwiązań rownania f(|x|)=-2
f(x)=2x-3/x+1
f(|x|)={2x-3/x+1 dla x≥0
-2x-3/x+1 dla x<0
f(|x|)={2(x+1)-5/x+1 dla x≥0
-2(x+1)-1/x+1 dla x<0
f(|x|)={2 -5/x+1 dla x≥0
-2 -1/x+1 dla x<0
asymptota x=-1
hiperbola y=-5/x przesunięta o wektor [-1,2] dla x≥0
hiperbola y=-1/x przesunięta o wektor [-1,-2] dla x<0
liczbe rozwiązań rownania f(|x|)=-2
zbiór {1/4}
