Odpowiedź :
1)
a)Wyznacz rownanie prostej rzechodzacej przez dwa punkty A=(1;4) i B=(-3;-2)
b)Wyznacz rownanie prostej rownoleglej do prostej y=6x-10 przechodzacej przez punktA=(-1;2) oraz rownanie prostej prostopadlej do tych prostych przechodacej przez punktB=(O;-3)
a) A=(1,4)
A =(x₁, y₁)
B = (-3, -2)
B =(x₂, y₂)
Równanie prostej przechodzacej przez 2 punkty ma postać:
(y -y₁)(x₂-x₁) = ( x -+x₁) (y₂ -y₁)
(y - 4)(-3-1) = ( x -1 ) ( -2 -4 )
(y - 4 ) ( -4) = ( x -1 ) ( -6)
y - 4 = [( x -1 ) ( -6)] : (-4)
y - 4 = (3/2)(x -1 )
y = 1,5x -1,5 + 4
y = 1,5x + 2,5
Jest to równanie prostej przechodzacej przez 2 punkty A= ( 1,4) oraz B =(-3,-2)
b) Równanie prostej równoległej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A =(-1,2)
y = 6x -10
y = a₁x +b
czyli a₁ = 6
warunek równoległości prostych ma postać a₁ = a₂ =6
y = a₂x +b
y = 6x +b
Aby obliczyć b należy w miejsce x i y wstawić odpowiednie współrzedne punktu przez który przechodzi A = (-1,2)
2 = 6*(-1) +b
2 = -6 +b
2 +6 = b
b =8
y = 6x +8
Jest to równanie prostej równoległej do prostej y = 6x -10 i przechodzącej przez punkt A =(-1,2)
y =6x -10
y =a₁x +b
Warunek prostopadłości prostych : a₁*a₂ = -1
a₂= -1 : a₁
a₂ = -1 : 6
a₂ = -1/6
Szukam równania prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzacej przez punkt B =(0,-3)
y = (-1/6)x + b
Aby obliczyć b należy w miejsce x i y wstawić odpowiednie współrzedne punktu przez który przechodzi B = (0, -3)
-3 = (-1/6)*0 + b
-3 = 0x + b
b = -3
y = (-1/6)x -3
Jest to równanie prostej prostopadłej do prostej y = 6x -10 i przechodzącej przez punkt B =( 0,-3)
2)Rozwiąż rownania i nierownosci
a)-4x²-16x+9=0
ax ²+ bx +c = 0
a = - 4
b = - 16
c = 9
Δ = b² -4ac
Δ = (-16)² -4*(-4)*9 = 256 +144= 400
√Δ = √400 = 20
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [-(-16) -20] : 2*(-4) = (16-20) : (-8) = (-4) :(-8) = 0,5
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ = [-(-16) +20] : 2*(-4) = (16+20) : (-8) = 36 : (-8) = -4,5
b)2(2x-3)(x+1)-5(x-1)²=2(x-2)(x-1)
2(2x² +2x -3x -3) -5(x² -2x+1) = 2(x²-x -2x +2)
4x² -2x -6 -5x² +10x -5 = 2x²-6x +4
-x² +8x -11 - 2x² +6x -4 = 0
-3x² +14x -15 = 0
a = -3
b = 14
c = -15
Δ = b² -4ac
Δ = 14² -4*(-3)*(-15)=196 -180 = 16
√Δ =√16 =4
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [14 -4] : [2*(-3)] = 10 :(-6) = -5/3
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ = [14 +4] : [2*(-3)] = 18 :(-6) = - 3
c)-x²-3x+4=0
a = -1
b = -3
c = 4
Δ = b² -4ac
Δ = (-3)² - 4*(-1)*4= 9 + 16 = 25
√Δ =√25 =5
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [- (-3) - 5]: 2*(-1) = (3 - 5) : (-2)= (-2) :(-2) = 1
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ =[-(-3) +5]: 2*(-1) = (3 + 5) : (-2)= 8 :(-2) = - 4
d)x²-7x+12>0
Rozwiązuję jak równanie
a = 1
b = -7
c = 12
Δ = b² -4ac
Δ = (-7)² -4*1*12= 49 -48 = 1
√Δ = √1 =1
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [-(-7) -1] : (2*1)= (7 -1) : 2 = 6 :2 = 3
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ =[-(-7) +1] : (2*1)= (7 +1) : 2 = 8 :2 =4
Parabola skierowana jest ramionami w górę i przechodzi przez oś Ox w punktach x₁=3 oraz x₂ = 4
Nierówność jest >0 dla x∈ (-∞, 3)∨( 4 +∞)
e)-4a²-16a+9 < 0
Rozwiązuję jak równanie
a = -4
b = -16
c = 9
Δ = b² -4ac
Δ = (-16)² -4*(-4)*9 = 256 +144=400
√Δ=√400 = 20
a₁ = (-b-√Δ) : 2a
a₁ =[ -(-16)-20] :[2*(-4)] = (16-20) :(-8) = (-4):(-8) =0,5
a₂ = (-b +√Δ) : 2a
a₂ =[ -(-16)+20] :[2*(-4)] =(16 +20) : (-8) =36 : (-8) = -4,5
Wykresem jest parabola ramionani skierowana w dół i przechodząca przez os OX w punktach a₁ =0,5 oraz a₂ = -4,5
Nierówność jest mniejsza od 0 dla a ∈(-∞, -4,5)∨( 0,5; +∞)
f)x²-16x+9 ≤ 0
a =1
b= -16
c = 9
Δ = b² -4ac
Δ = (-16)² -4*1*9 = 256 -36 = 220
√Δ = √220 = √(4*55) = 2√55
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ =[-(-16 -2√55] : (2*1) =( 16 -2√55) :2 = 8 -√55 ≈ 0,6
x₂ = (-b+√Δ) : 2a
x₂ =[-(-16 +2√55] : (2*1) =( 16 +2√55) :2 = 8 +√55 ≈ 15,4
Wykresem jest parabola skierowana ramionami w górę i przechodziąca przez oś Ox w punktach x₁=8 -√55 oraz x₂ = 8 +√55
Nierówność jest ≤0 dla x∈ < 8 -√55 , 8 +√55 >
3)W ukladzie wspolrzednych zaznacz rozwiazania nierownoa=sci
a)x > 4 i y > -2
Ponieważ nie mogę tego narysowac dam ci wskazówki jak to zrobić :
1.Naleźy narysować układ współrzednych
2.Narysować prostą x =4 równoległą do osi OY i przechodzącą przez punkt x =4
3.Zaznaczyć x > 4 tę część półpłaszczyzny większą od tej prostej ( czyli od tej prostej w prawo) )
4. Narysować prostą y =-2 (równoległą do osi OX i przechodzacą przez y =-2
5. Zaznaczyć y >-2 tę część półpłaszczyzny większą od tej prostej ( czyli powyżej tej prostej)
6. Wspólą częścią jest półpłaszczyzny wyznaczy zakreskowana część bez linii wyznaczajacych proste
4.
b)-1 ≤ x < 3
y ≥ -2
Podobnie należy zrobić z tym punktem
1.Naleźy narysować układ współrzednych
2. Narysować proste x =3 i x =-1 równoległe do osi OY
3. Zaznaczyć przestrzeń między tymi prostymi łącznie z linią określoną x =-1, ale bez linii x =3
4.Narysować prostą y = -2 równoległą do osi OX i przechodzacą przez y =-2
5. Zaznaczyć półpłaszczyznę od prostej w górę łącznie z prostą
6. Zakreskowana część wyznaczy rozwiązanie
a)Wyznacz rownanie prostej rzechodzacej przez dwa punkty A=(1;4) i B=(-3;-2)
b)Wyznacz rownanie prostej rownoleglej do prostej y=6x-10 przechodzacej przez punktA=(-1;2) oraz rownanie prostej prostopadlej do tych prostych przechodacej przez punktB=(O;-3)
a) A=(1,4)
A =(x₁, y₁)
B = (-3, -2)
B =(x₂, y₂)
Równanie prostej przechodzacej przez 2 punkty ma postać:
(y -y₁)(x₂-x₁) = ( x -+x₁) (y₂ -y₁)
(y - 4)(-3-1) = ( x -1 ) ( -2 -4 )
(y - 4 ) ( -4) = ( x -1 ) ( -6)
y - 4 = [( x -1 ) ( -6)] : (-4)
y - 4 = (3/2)(x -1 )
y = 1,5x -1,5 + 4
y = 1,5x + 2,5
Jest to równanie prostej przechodzacej przez 2 punkty A= ( 1,4) oraz B =(-3,-2)
b) Równanie prostej równoległej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A =(-1,2)
y = 6x -10
y = a₁x +b
czyli a₁ = 6
warunek równoległości prostych ma postać a₁ = a₂ =6
y = a₂x +b
y = 6x +b
Aby obliczyć b należy w miejsce x i y wstawić odpowiednie współrzedne punktu przez który przechodzi A = (-1,2)
2 = 6*(-1) +b
2 = -6 +b
2 +6 = b
b =8
y = 6x +8
Jest to równanie prostej równoległej do prostej y = 6x -10 i przechodzącej przez punkt A =(-1,2)
y =6x -10
y =a₁x +b
Warunek prostopadłości prostych : a₁*a₂ = -1
a₂= -1 : a₁
a₂ = -1 : 6
a₂ = -1/6
Szukam równania prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzacej przez punkt B =(0,-3)
y = (-1/6)x + b
Aby obliczyć b należy w miejsce x i y wstawić odpowiednie współrzedne punktu przez który przechodzi B = (0, -3)
-3 = (-1/6)*0 + b
-3 = 0x + b
b = -3
y = (-1/6)x -3
Jest to równanie prostej prostopadłej do prostej y = 6x -10 i przechodzącej przez punkt B =( 0,-3)
2)Rozwiąż rownania i nierownosci
a)-4x²-16x+9=0
ax ²+ bx +c = 0
a = - 4
b = - 16
c = 9
Δ = b² -4ac
Δ = (-16)² -4*(-4)*9 = 256 +144= 400
√Δ = √400 = 20
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [-(-16) -20] : 2*(-4) = (16-20) : (-8) = (-4) :(-8) = 0,5
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ = [-(-16) +20] : 2*(-4) = (16+20) : (-8) = 36 : (-8) = -4,5
b)2(2x-3)(x+1)-5(x-1)²=2(x-2)(x-1)
2(2x² +2x -3x -3) -5(x² -2x+1) = 2(x²-x -2x +2)
4x² -2x -6 -5x² +10x -5 = 2x²-6x +4
-x² +8x -11 - 2x² +6x -4 = 0
-3x² +14x -15 = 0
a = -3
b = 14
c = -15
Δ = b² -4ac
Δ = 14² -4*(-3)*(-15)=196 -180 = 16
√Δ =√16 =4
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [14 -4] : [2*(-3)] = 10 :(-6) = -5/3
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ = [14 +4] : [2*(-3)] = 18 :(-6) = - 3
c)-x²-3x+4=0
a = -1
b = -3
c = 4
Δ = b² -4ac
Δ = (-3)² - 4*(-1)*4= 9 + 16 = 25
√Δ =√25 =5
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [- (-3) - 5]: 2*(-1) = (3 - 5) : (-2)= (-2) :(-2) = 1
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ =[-(-3) +5]: 2*(-1) = (3 + 5) : (-2)= 8 :(-2) = - 4
d)x²-7x+12>0
Rozwiązuję jak równanie
a = 1
b = -7
c = 12
Δ = b² -4ac
Δ = (-7)² -4*1*12= 49 -48 = 1
√Δ = √1 =1
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ = [-(-7) -1] : (2*1)= (7 -1) : 2 = 6 :2 = 3
x₂ = (-b +√Δ) : 2a
x₂ =[-(-7) +1] : (2*1)= (7 +1) : 2 = 8 :2 =4
Parabola skierowana jest ramionami w górę i przechodzi przez oś Ox w punktach x₁=3 oraz x₂ = 4
Nierówność jest >0 dla x∈ (-∞, 3)∨( 4 +∞)
e)-4a²-16a+9 < 0
Rozwiązuję jak równanie
a = -4
b = -16
c = 9
Δ = b² -4ac
Δ = (-16)² -4*(-4)*9 = 256 +144=400
√Δ=√400 = 20
a₁ = (-b-√Δ) : 2a
a₁ =[ -(-16)-20] :[2*(-4)] = (16-20) :(-8) = (-4):(-8) =0,5
a₂ = (-b +√Δ) : 2a
a₂ =[ -(-16)+20] :[2*(-4)] =(16 +20) : (-8) =36 : (-8) = -4,5
Wykresem jest parabola ramionani skierowana w dół i przechodząca przez os OX w punktach a₁ =0,5 oraz a₂ = -4,5
Nierówność jest mniejsza od 0 dla a ∈(-∞, -4,5)∨( 0,5; +∞)
f)x²-16x+9 ≤ 0
a =1
b= -16
c = 9
Δ = b² -4ac
Δ = (-16)² -4*1*9 = 256 -36 = 220
√Δ = √220 = √(4*55) = 2√55
x₁ = (-b-√Δ) : 2a
x₁ =[-(-16 -2√55] : (2*1) =( 16 -2√55) :2 = 8 -√55 ≈ 0,6
x₂ = (-b+√Δ) : 2a
x₂ =[-(-16 +2√55] : (2*1) =( 16 +2√55) :2 = 8 +√55 ≈ 15,4
Wykresem jest parabola skierowana ramionami w górę i przechodziąca przez oś Ox w punktach x₁=8 -√55 oraz x₂ = 8 +√55
Nierówność jest ≤0 dla x∈ < 8 -√55 , 8 +√55 >
3)W ukladzie wspolrzednych zaznacz rozwiazania nierownoa=sci
a)x > 4 i y > -2
Ponieważ nie mogę tego narysowac dam ci wskazówki jak to zrobić :
1.Naleźy narysować układ współrzednych
2.Narysować prostą x =4 równoległą do osi OY i przechodzącą przez punkt x =4
3.Zaznaczyć x > 4 tę część półpłaszczyzny większą od tej prostej ( czyli od tej prostej w prawo) )
4. Narysować prostą y =-2 (równoległą do osi OX i przechodzacą przez y =-2
5. Zaznaczyć y >-2 tę część półpłaszczyzny większą od tej prostej ( czyli powyżej tej prostej)
6. Wspólą częścią jest półpłaszczyzny wyznaczy zakreskowana część bez linii wyznaczajacych proste
4.
b)-1 ≤ x < 3
y ≥ -2
Podobnie należy zrobić z tym punktem
1.Naleźy narysować układ współrzednych
2. Narysować proste x =3 i x =-1 równoległe do osi OY
3. Zaznaczyć przestrzeń między tymi prostymi łącznie z linią określoną x =-1, ale bez linii x =3
4.Narysować prostą y = -2 równoległą do osi OX i przechodzacą przez y =-2
5. Zaznaczyć półpłaszczyznę od prostej w górę łącznie z prostą
6. Zakreskowana część wyznaczy rozwiązanie
