1.Ciąg (an) określony jest wzorem an=n²-5
a) wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu
an < 0
n²-5 < 0
n² < 5
-√5 < n < √5
Ponieważ n jest liczbą naturalną to powyższy warunek spełniony jest jedynie dla n = 1 i dla n = 2
Odp. Dwa wyrazy ciągu an=n²-5 są ujemne.
b) sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym.
a(n+1) = (n+1)² - 5
a(n+1)/an = [(n+1)² - 5] / (n²-5) = (n² + 2n + 1 - 5)/(n²-5) =
1+[(2n+1)/(n²-5)] - zatem nie jest to ciąg geometryczny
2. Oblicz pięć pierwszych wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie
A) a₁=4 i an=a(n-1)+5
a₁ = 4; a₂ = 4 + 5 = 9; a₃ = 9 + 5 = 14; a₄ = 14 + 5 = 19; a₅ = 19 + 5 = 24
b) a₁=-3 i an=2a(n-1)+4
a₁ = -3; a₂ = 2*(-3) + 4 = -6 + 4 = -2; a₃ = 2*(-2) + 4 = -4 + 4 = 0; a₄ = 2*0 + 4 = 4; a₅ = 2*4 + 4 = 12
3. O ile procent wzrośnie po trzech latach kwota wpłacona na lokatę półroczną, jeżeli jej oprocentowanie wynosi 4 % w stosunku rocznym?
x - kwota lokaty półrocznej
½*0,04x = 0,02x - kwota odsetek uzyskanych na koniec lokaty (tzn.po pół roku). Na koniec pierwszego półrocza na lokacie będzie 1,02x.
Rozumiem, że na kolejne półrocze ulokowana zostaje kwota wraz z odsetkami. Teraz otrzymamy 0,02(1,02x) = 0,0204x odsetek, a na koncie będzie 1,0204x. Zapis wygląda tak:
ilość okresów n = 3*2 = 6
a₀ = x
q = 1,02
an = a₀ *q^n
a₆ = x * (1,02)⁶
a₆ ≈ 1,13x
1,13x - x = 0,13x = 13%
Odp.Po trzech latach wpłacona kwota wzrośnie o ok. 13%
4. Na lokate kwartalną której oprocentowanie wynosi 4 % w sakli roku wpłacono 2500 zł. Ile wyniesie wartość odsetek po roku?
0,04/4 = 0,01 - oprocentowanie kwartalne
a₀ = 2500
q = 1,01
n = 2
an = a₀ *q^n
a₂ = 2500 * (1,01)² = 2500*1,0201 = 2550,25
2550,25 - 2500 = 50,25
Odp. Wartość odsetek po pół roku wyniesie 50,25 zł
