1. Podany ciąg jest geometryczny. Znajdź iloraz oraz dwa brakujące wyrazy:
a) 5,1,a₁,a₂
1/5=a₁/1
a₁=1/5
q=1/5
a₂=a₁*q=1/5 *1/5=1/25
b)-0,2; -0,4; a₁; a₂
q=(-0,4)/(-0,2)=2
(-0,4)/(-0,2)= a₁/(-0,4)
2=a₁/(-0,4)
2=a₁/(-0,4) /*(-0,4)
a₁=(-0,8)
a₂=a₁*q=(-0,8)*2=-1,6
c) a₁, -3/2, 3/4, a₄
q=(3/4)/(-3/2)=(3/4)*(-2/3)=-1/2
(-3/2)/ a₁=(3/4)/(-3/2)
(-3/2)/ a₁=3/4 *(-2/3)
(-3/2)/ a₁=(-0,5)
(-3/2)=a₁(-0,5) /:(-0,5)
a₁=-3
a₄=3/4 *(-1/2)=-3/8
d) ¼, 1/10, a₃,a₄
q=(1/10)/(1/4)=1/10* 4=2/5
a₃/(1/10)=2/5
10a₃=2/5 /:10
a₃=2/5 * 1/10
a₃=1/25
a₄=a₃*q=1/25 *2/5
a₄=2/125
2.Z czterech liczb a₁, an, q, n dane są trzy , wyznacz czwartą:
a) a₁=2, q=3, n=5,
an= a₁*q^(n-1)
an=2* 3⁵⁻¹
an=2*3⁴
an=2*81=162
b) a₁=8, q=½, n =7
an= a₁*q^(n-1)
an=8*(1/2)⁷⁻¹
an=8*(1/2)⁶
an=8*(1/64)
an=1/8
c) a₁=16, an=½, n=6
an= a₁*q^(n-1)
1/2=16*q⁶⁻¹
1/2=16*q⁵ /:16
1/32=q⁵
q=1/2
d) a₁=1, an=128, q=2
an= a₁*q^(n-1)
128=1*2^(n-1)
128=2^n * 2⁻¹
128=2^n *1/2 /:(1/2)
64=2^n
2⁶=2^n
n=6
3. Znajdź pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, w którym:
a) a₈=256, q=4
a₈=a₁*q⁷
256=a₁*4⁷
4⁴=a₁*4⁷ /:4⁷
a₁=4⁴/4⁷
a₁=1/(4)³
a₁=1/64
b) a₆=4/9, q=1/3
a₆=a₁*q⁵
4/9=a₁*(1/3)⁵
4/9=a₁*1/243 /*243
4/9 *243=a₁
a₁=4/27
c) a₇=-24, q=√2
a₇=a₁*q⁶
-24=a₁*(√2)⁶
-24=a₁*2*2*2
-24=a₁*8 /:8
a₁=3
4. Liczby 16, a, b, c, 1/4 tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Znajdź liczby a, b, c.
a₁=16
a₅=1/4
a₅=a₁*q⁴
1/4=16q⁴ /:16
q⁴=1/64
q²=1/8
q=1/(√8)=1/(√4*2)
q=1/(2√2)
q=√2/4
a=a₁*q=16* √2/4
a=4√2
b=a*q=4√2* √2/4
b=2
c=b*q=2*√2/4
c=√2/2
5. W ciągu geometrycznym a₁=½, a₄=27/16. Oblicz iloraz i trzeci wyraz tego ciągu. Podaj wzór ogólny.
a₁=½
a₄=27/16
a₄=a₁*q³
27/16=1/2 *q³ /*2
27/8=q³
q=3/2
a₃=a₁*q²
a₃=1/2 *(3/2)²
a₃=1/2 *(9/4)
a₃=9/8
an= a₁*q^(n-1)
an=(1/2)* (3/2)^(n-1)
6. Między licby 3 i 16/27 wstaw cztery liczby, tak, by wraz z podanymi liczbami tworzyły ciąg geometryczny.
3,a,b,c,d,16/27 -ciąg geometryczny
a₁=3
a₆=16/27
a₆=a₁*q⁵
16/27=3*q⁵ /:3
16/81=q⁵
q=⁵√(16/81)=(16/81)^(1/5)
a=a₁*q=3*(16/81)^(1/5)
b=a*q=3*(16/81)^(1/5)* (16/81)^(1/5)=3*(16/81)^(2/5)
c=b*q=3*(16/81)^(2/5) * (16/81)^(1/5)=3*(16/81)^(3/5)
d=c*q=3*(16/81)^(3/5) * (16/81)^(1/5)=3*(16/81)^(4/5)
