Odpowiedź :
Po porównaniu dwóch podanych liczb uzyskano, co następuje:
- liczba [tex]x[/tex] jest większa od liczby [tex]y[/tex],
- liczba [tex]x[/tex] jest również i w tym przypadku większa od liczby [tex]y[/tex],
Skąd to wiadomo?
Do rozwiązania tego zadania konieczna będzie znajomość kilku działań na potęgach, a mianowicie:
- [tex]a^{-n} =(\frac{1}{a} )^{n}[/tex],
- [tex]a^{n} *a^{m} =a^{n+m}[/tex],
- [tex](a^{n} )^{m} =a^{n*m}[/tex],
- [tex](a*b)^{n} =a^{n} *b^{n}[/tex].
Teraz można przejść do odpowiedniego przekształcenia liczby [tex]x[/tex] i liczby [tex]y[/tex] tak, by móc je ze sobą z łatwością porównać.
Zadanie a
Najpierw zajmiemy się przekształceniem liczby [tex]x[/tex] do najprostszej postaci:
[tex](\frac{1}{27} )^{-48} =(1:\frac{1}{27} )^{48} =27^{48} =(3^{3} )^{48} =3^{144}[/tex]
Teraz zajmujemy się liczba [tex]y[/tex]:
[tex]243^{28} =(3^{5})^{28} =3^{140}[/tex]
Obie liczby przedstawiono w postaci potęg o tej samej podstawie, ale różnym wykładniku. Można teraz je ze sobą porównać.
[tex]3^{144} > 3^{140}[/tex]
A zatem liczba [tex]x[/tex] jest większa od liczby [tex]y[/tex].
Zadanie b
Postępujemy analogicznie, jak w zadaniu a.
[tex](2\sqrt{2} )^{28}=((2\sqrt{2} )^{2} )^{6} *(2\sqrt{2} )^{16} =8^{6} *(2\sqrt{2} )^{16}[/tex]
[tex](\frac{\sqrt{8} }{64} )^{-6} =(1:\frac{\sqrt{8} }{64} )^{6} =(\frac{64}{\sqrt{8} })^{6} =(\frac{64\sqrt{8} }{8} )^{6} =(8\sqrt{8} )^{6} =(8*2\sqrt{2} )^{6} =8^{6} *(2\sqrt{2} )^{6}[/tex]
[tex]8^{6} *(2\sqrt{2} )^{16} > 8^{6} *(2\sqrt{2} )^{6}[/tex]
A zatem liczba [tex]x[/tex] jest większa od liczby [tex]y[/tex].
#SPJ3
