Rozwiązane

suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 27.Jeśli do pierwszego wyrazu dodamy 1,do drugiego 3,a do trzeciego 7,to otrzymamy ciąg geometryczny.Wyznacz te liczby.



Odpowiedź :

a₁+ a₂ + a₃ = 27 suma wyrazów ciągu geometrycznego
a₂ = a₁ +r
a₃ = a₁ + 2r
a₁ + a₁ +r + a₁+2r = 27
3a₁ +3r = 27 /:3
a₁ + r = 9
a₁ = 9 - r ( jest to drugi wyraz ciągu arytmetycznego)

Wyrazy ciagu geometrycznego:
a₁ +1
a₂ + 3 = a₁ + r +3
a₃ + 7 = a₁ +2r +7
Korzystając z wlasności ciągu gepmetrycznego mamy:

q = a₃ : a₂ = a₂ : a₁Iloraz ciągu geom. = const.
(a₁ +2r +7) : (a₁ + r +3) = (a₁ + r +3) : (a₁ +1)

(a₁ +2r +7) *(a₁ +1) = (a₁ + r +3) *(a₁ + r +3)

w miejsce a₁ wstawiam a₁ = 9 - r
(9 - r +2r +7) *(9 - r+1) = (9 - r +r +3)*( 9 - r +r +3)
(r +16) *( 10-r) = ( 12)*(12)
10r -r² +160 -16r -144 =0
-r² - 6r + 16 = 0 /*(-1)
r² +6r -16 = 0
Δ = 6² -4*1*(-16) = 36 + 64 = 100
√Δ = √ 100 = 10
r₁ = [-6-10] : 2*1 =( -6 -10 ) : 2 = -8
lub
r₂ = [-6+10] : 2*1 =( -6 +10 ) : 2 = 2

Obliczam a₁ = 9-r₁ = 9 - (-8) = 9 +8 = 17
a₁ = 9-r₂ = 9 -2 =7

Rozwiazaniem moga być ;
1) a₁ = 17 i r = -8
lub
2) a₁ = 7 i r = 2

Sprawdzam czy dla 1) przypadku ciag jest arytmetyczny i geometryczny

a₁ = 17
a₂ = a₁ +r = 17 -8 = 9
a₃ = a₁+2r = 17 +2*(-8) = 17 -16 = 1
17 + 9 +1 = 27 ( suma jest zgodna z założeniem zadania
sprawdzam ciąg geometryczny
a₁ = 17 +1 = 18
a₂ = 9+3 = 12
a₃ = 1 +7 = 8
Sprawdzam czy iloraz jest const.
q = a₃ : a₂ = a₂ : a₁
q = 8 : 12= 12:18
q = ⅔ = ⅔ = const

2) sprawdzam dugi przypadek
a₁ = 7 i r =2
ciag arytmetyczny
a ₁= 7
a₂ = a₁ +r = 7 +2 =9
a₃ = a₁+2r =7 +2*2 = 11
7 + 9 + 11 = 27 ( suma jest zgodna z założeniem zadania
sprawdzam ciąg geometryczny
a₁ = 7 +1 = 8
a₂ = 9 +3 =12
a₃ = 11 +7 = 18

Sprawdzam czy iloraz jest const.
q = a₃ : a₂ = a₂ : a₁
q = 18 : 12 = 12: 8
q = 3/2 = 3/2 = const

Oba prypadki są rozwiazaniem
Rozwiązaniem są liczby ciagu arytmetycznego 17,9,1 oraz liczby ciagu geometrycznego 18,12,8
lub
liczby ciągu arytmetycznego 7,9,11 oraz liczby ciągu geometrycznego 8,12,18

Inne Pytanie