Odpowiedź :
W(x)= x^4- 2x^3 - 2x^2+ 6x+5
W(x) = x⁴ -2x³ -2x² +6x +5
Jeśli x = -1 jest pierwiastkiem W(x) to wielomian W(x) jest podzielny przez jednomian x+1
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) :(x+1) = (x³ -3x² +x +5)
-x⁴ -x³
-----------
= -3x³- 2x² +6x +5
+3x³ +3x²
-------------------
= x² +6x +5
-x² -x
-----------
= 5x + 5
- 5x - 5
----------
= =
Wobec tego wielomian W(x ) można zapisać;
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = (x+1) * (x³ -3x² +x +5)
Dzielę wielomian (x³ -3x² +x +5) przez (x +1)
(x³ -3x² +x +5) : (x +1) = x² -4x +5
-x³ -x²
-----------
= - 4x² +x +5
+4x² +4x
------------
= 5x +5
-5x - 5
-------------
= =
Wobec powyższego wielomian można zapisać w postaci iloczynowej
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = (x+1) *( x +1)* (x² -4x +5 )
Jak z tego wynika po przyrownaniu W(x) =0 otrzymamy pierwiastki wielomianu
x+1 = 0 lub x +1 = 0
x = -1 lub x = -1
Wynika z tego ze x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x)
Można też wykonać dowód inaczej
Jeśli x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez (x+1)²
( x +1)² = x² +2x +1
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) : ( x² +2x +1) = x² -4x +5
-x⁴ -2x³ -x²
-----------------
= -4x³ -3x² +6x +5
+4x³ +8x²+4x
-----------------
= 5x² +10x +5
-5 x² -10x -5
------------------
= = =
W(x) = ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = ( x² +2x +1) ( x² -4x +5)
inaczej
W(x) = ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = ( x +1)²* ( x² -4x +5)
W(x) jest podzielne przez (x +1)² to x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x)
W(x) = x⁴ -2x³ -2x² +6x +5
Jeśli x = -1 jest pierwiastkiem W(x) to wielomian W(x) jest podzielny przez jednomian x+1
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) :(x+1) = (x³ -3x² +x +5)
-x⁴ -x³
-----------
= -3x³- 2x² +6x +5
+3x³ +3x²
-------------------
= x² +6x +5
-x² -x
-----------
= 5x + 5
- 5x - 5
----------
= =
Wobec tego wielomian W(x ) można zapisać;
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = (x+1) * (x³ -3x² +x +5)
Dzielę wielomian (x³ -3x² +x +5) przez (x +1)
(x³ -3x² +x +5) : (x +1) = x² -4x +5
-x³ -x²
-----------
= - 4x² +x +5
+4x² +4x
------------
= 5x +5
-5x - 5
-------------
= =
Wobec powyższego wielomian można zapisać w postaci iloczynowej
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = (x+1) *( x +1)* (x² -4x +5 )
Jak z tego wynika po przyrownaniu W(x) =0 otrzymamy pierwiastki wielomianu
x+1 = 0 lub x +1 = 0
x = -1 lub x = -1
Wynika z tego ze x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x)
Można też wykonać dowód inaczej
Jeśli x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez (x+1)²
( x +1)² = x² +2x +1
( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) : ( x² +2x +1) = x² -4x +5
-x⁴ -2x³ -x²
-----------------
= -4x³ -3x² +6x +5
+4x³ +8x²+4x
-----------------
= 5x² +10x +5
-5 x² -10x -5
------------------
= = =
W(x) = ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = ( x² +2x +1) ( x² -4x +5)
inaczej
W(x) = ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = ( x +1)²* ( x² -4x +5)
W(x) jest podzielne przez (x +1)² to x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x)
