Odpowiedź:
B. i C.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Najprostszym sposobem znalezienia właściwej odpowiedzi jest tu eliminacja błędnych odpowiedzi.
A.
nie może być odpowiedzią, bo np.: dla [tex]\alpha=\frac\pi3\ ,\ \ \beta=\frac\pi6[/tex] mamy:
[tex]\cos(\frac\pi3-\frac\pi6)=\cos\frac\pi3 - \cos\frac\pi6\\\\\cos\frac\pi6=\cos\frac\pi3 - \cos\frac\pi6\\\\\frac{\sqrt3}2=\frac12-\frac{\sqrt3}2\qquad|\cdot2\\\\\sqrt3=1-\sqrt3\\\\2\sqrt3\not=1[/tex]
więc α i β nie mogą być dowolne
B.
dla [tex]\alpha=\frac\pi4\ ,\ \ \beta=\frac\pi2[/tex] mamy:
[tex]\cos(\frac\pi4-\frac\pi2)=\cos\frac\pi4 - \cos\frac\pi2\\\\\cos(-\frac\pi4)=\cos\frac\pi4 - \cos\frac\pi2\\\\\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2-0\\\\\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2[/tex]
Czyli dla [tex]\alpha=\frac\pi4\ ,\ \ \beta=\frac\pi2[/tex] wzór jest prawdziwy.
C.
Cosinus jest funkcją okresową, więc jeśli wzór jest prawdziwy dla [tex]\alpha=\frac\pi4\ ,\ \ \beta=\frac\pi2[/tex], to jest też prawdziwy dla każdej pary postaci [tex]\alpha=\frac\pi4+2k\pi\ ,\ \ \beta=\frac\pi2+2k\pi[/tex] , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.
[tex]dla\ k\in\mathbb C,\ \ \frac\pi4+2k\pi\in\mathbb R\ ,\ \ \frac\pi2+2k\pi\in\mathbb R[/tex]
Czyli wzór jest prawdziwy dla nieskończenie wielu par [tex]\alpha\, ,\ \beta\in\mathbb R[/tex]
