Odpowiedź:
a²,b²,c²= kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego
korzystajac ze wzoru na wyraz srodkowy c. arymet. masz :
b²= ( a²+c²)/2 /*2
2b²=a²+c² wiemy, że to prawda, bo pierwszy ciąg jest na pewno arytmetyczny
.......................
podobnie :
1/( c+a) = [ 1/(b+c) + 1/( a+b) ] /2 /*2
2/( c+a) = ( a+b+ b+c) / (b+c)(a+b) =
2/(a+c) =(a+2b+c)/[(b+c)(a+b)] sprowadziłam do wspólnego mianownika, teraz mnoże na krzyż:
2(b+c)(a+b)= (a+c)( a+2b+c)
2(ab+b²+ac+bc)=a²+2ab+ac+ac+2bc+c²
2ab+2b²+2ac+2bc= a²+2ab+2ac+2bc+c² 2ab, 2bc , 2ac się nam zredukuje i zostaje: 2b²= a²+c², a co widać powyżej jest prawdziwe, dlatego drugi ciąg jest też arytmetyczny
Szczegółowe wyjaśnienie:
W ciągu arytmetycznym n-ty wyraz jest równy średniej arytmetycznej wyrazów sąsiednich
[tex]a_n = \frac{a_{n - 1} + a_{n+1}}{2}[/tex]
Czyli w naszym przypadku:
[tex]b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}\\2b^2 = a^2 + c^2[/tex]
Jeśli liczby [tex]\frac{1}{b + c}[/tex], [tex]\frac{1}{c + a}[/tex] oraz [tex]\frac{1}{a + b}[/tex] stanowią kolejne wyrazy innego ciągu arytmetycznego, to zachodzi prawidłowość:
[tex]2 \cdot \frac{1}{c+a} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b}[/tex]
[tex]\frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} =\\\frac{a+b + b+ c}{(b + c)(a + b)} =\\\frac{a + 2b + c}{ab + b^2 + ac + bc}[/tex]
[tex]2(ab + b^2 + ac + bc) = (a +c)(a + 2b + c)\\2ab + 2b^2 + 2ac + 2bc = a^2 + 2ab + ac + ac + 2bc + c^2\\2b^2 = a^2 + 2ab - 2ab + 2ac - 2ac + 2bc - 2bc + c^2\\2b^2 = a^2 + c^2[/tex]
Jak widać uzyskaliśmy równanie spójne z tym wcześniejszym. Tym samym dowiedliśmy prawdziwości hipotezy postawionej w treści pytania. :)