Graniastosłup prawidłowy czworokątny to szczególny przypadek prostopadłościanu, którego podstawą jest kwadrat, a wszystkie jego ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do krawędzi podstawy.
----------
Oznaczenia jak na rysunku w załączniku.
Pole podstawy graniastosłupa - kwadratu ABCD o boku a wynosi 50 cm².
[tex]P_{ABCD}= 50 \ cm^2 \ i \ P_{ABCD}=a^2 \\ a^2 = 50 \ i \ a > 0 \\ a = \sqrt{50} \\ a = \sqrt{25 \cdot 2} \\ a = 5\sqrt{2} \ cm[/tex]
Zatem długość przekątnej d kwadratu wynosi:
[tex]d = a\sqrt{2} \\ d = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \\ d = 5 \cdot 2 \\ d = 10 \ cm[/tex]
Pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną d dolnej podstawy i jeden z wierzchołków górnej podstawy, czyli pole trójkąta BDG jest równe 65 cm². Zatem długość wysokości h trójkąta BDG wynosi:
[tex]P_{BDG}= 65 \ cm^2 \ i \ P_{BDG}=\frac{1}{2} dh = \frac{1}{\not{2}_1} \cdot \not{10}^5 \cdot h = 5h \\ 5h = 65 \ \ \ |:5 \\ h = 13 \ cm[/tex]
Trójkąt GCO to trójkąt prostokątny, zatem korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość krawędzi bocznej (wysokości) b graniastosłupa:
[tex]b^2 + (\frac{1}{2} d)^2= h^2 \\ b^2 + (\frac{1}{\not{2}_1} \cdot \not{10}^5)^2= 13^2 \\ b^2 +5^2= 169 \\ b^2 +25= 169 \\ b^2=169-25 \\ b^2 = 144 \ i \ b > 0 \\ b = \sqrt{144} \\ b = 12 \ cm[/tex]
Objętość graniastosłupa
[tex]V = P_p \cdot b = a^2 \cdot b = (5\sqrt{2})^2 \cdot 12= 25 \cdot 2 \cdot 12 = 50 \cdot 12 = 600 \\ V = 600 \ cm^3[/tex]
Odp. D
