Rozwiązane

Dla funkcji f(x)= -1/2x²+x+4 określ
a) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie
b) przedziały monotoniczności



Odpowiedź :

123bodzio

Odpowiedź:

f(x) = - 1/2x² + x + 4

a = - 1/2 , b = 1 , c = 4

Obliczamy miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli

- 1/2x² + x + 4 = 0

Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * (- 1/2) * 4 = 1 + 2 * 4 = 1 + 8 = 9

√Δ = √9 = 3

x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 1 - 3)/(2 * (- 1/2)) = - 4/( - 1) = 4/1 = 4

x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 1 + 3)/(- 1) = 2/(- 1) = - 2

W - współrzędne wierzchołka = (- b/2a ; - Δ/4a)

- b/2a = - 1/(- 1) = 1/1 = 1

- Δ/4a = - 3/(- 2) = 3/2 = 1 1/2 = 1,5

W = (1 ; 1,5 )

a)

- 1/2x² + x + 4 < 0

x₁ = 4 , x₂ = - 2

a < 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX

x ∈ (- ∞ , - 2 ) ∪ ( 4 , + ∞ )

b)

f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ (- ∞ , 1 >

f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ < 1 , + ∞ )

Basetla

[tex]f(x) = -\frac{1}{2}x^{2}+x+4\\\\a)\\-\frac{1}{2}x^{2}+x+4 > 0\\\\a = -\frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 4\\\\M. \ zerowe:\\\\\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot4 = 1+8 = 9\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3\\\\x_1 = \frac{-1+3}{2\cdot(-\frac{1}{2})}=-2\\\\x_2 = \frac{-1-3}{2\cdot(-\frac{1}{2})} = 4\\\\x \in (-2, 4)[/tex]

[tex]b)[/tex]

Jeśli a < 0, to parabola zwrócona jest ramionami do dołu, wówczas funkcja jest rosnąca w przedziale (-∞; p >, a malejąca w przedziale < p; +∞)

[tex]p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-2+4}{2} =1\\lub\\p = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2\cdot(-\frac{1}{2})} = 1[/tex]

Funkcja jest rosnąca w przedziale (-∞; 1 >, a malejąca w przedziale < 1; +∞).

Inne Pytanie