Jeżeli równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 (gdzie a ≠ 0) ma dwa rozwiązania x₁, x₂ to:
[tex]x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex]
[tex]20x^{2}+29x + 3 = 0\\\\a = 20, \ b = 29, \ c = 3[/tex]
Sprawdzamy, czy równanie ma dwa pierwiastki:
[tex]\Delta = b^{2}-4ac = 29^{2}-4\cdot20\cdot30 = 841-240 = 601 > 0[/tex]
Wyróżnik jest nieujemny, zatem równanie ma pierwiastki.
Zgodnie z wzorami Viete'a wiemy, że:
[tex]x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\\x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex]
Mamy obliczyć sumę kwadratów pierwiastków, tzn:
[tex]x_1^{2}+x_2^{2}[/tex]
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](x_1 + x_2)^{2} = x_1^{2}+2x_1x_2 + x_2^{2}[/tex]
Przekształcamy powyższe równanie i otrzymujemy:
[tex]x_1^{2}+x_2^{2} = (x_1 + x_2)^{2} -2x_1x_2[/tex]
Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania:
[tex]x_1^{2}+x_2^{2} = (x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2 =(-\frac{b}{a})^{2}-2\cdot\frac{c}{a} = \frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}\\\\x_1^{2}+x_2^{2} = \frac{29^{2}-2\cdot20\cdot3}{20^{2}} = \frac{841-120}{400} = \frac{721}{400} = 1\frac{321}{400}[/tex]
