Dlaczego wychodzi mi złe rozwiązanie z poniższego równania ( powinno być x= -1).

Gdzie dokładnie jest błąd w poniższym zapisie?

[tex] | {x}^{2} - 1 | + |x + 1| = 0 \\ |x - 1| \times |x + 1| + |x + 1| = 0 \: \: // : |x + 1| \\ |x - 1| = 0 \\ x - 1 = 0 \\ x = 1[/tex]

Dodatkowo robię sprawdzenie, dla x= -1, gdyż wczesniej wyrzuciłem go z dziedziny aby nie podzielić przez 0 :

[tex] | {( - 1)}^{2} - 1| + | - 1 + 1| = 0 \\ |1 - 1| + |0| = 0 \\ 0 = 0[/tex]

Więc wychodzą mi dwa rozwiązania:

[tex]x = 1 ∨ x=-1[/tex]

Wiem jak inaczej to rozwiązać, ale chodzi mi konkretnie o sposób z dzieleniem przez w. bezwzględną.

Dam naj za wyjaśnienie :)

[tex]|x^2-1|+|x+1|=0\\\\|x^2-1^2|+|x+1|=0\qquad|\text{ze wzoru skruconego mnozenia}\\\\|(x-1)(x+1)|+|x+1|=0\qquad|\text{z wlasnosci wartosci bezwzglednej}\\\\|x-1|\cdot|x+1|+|x+1|=0\qquad|\text{wylaczamy wspolny czynnik}\\\\|x+1|\cdot\left(|x-1|+1\right)=0[/tex]

Iloczyn jest róny 0 gdy jeden z czynników jest równy 0. Stąd:

[tex]|x+1|\cdot(|x-1|+1)=0\iff|x+1|=0\ \vee\ |x-1|+1=0\\\\|x+1|=0\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\\\\|x-1|+1=0\Rightarrow |x-1|=-1<0\to\text{sprzecznosc}[/tex]

Stąd mamy rozwiązanie

[tex]\huge\boxed{x=-1}[/tex]

W Twoim rozwiązaniu jest jeszcze błąd (pomijając dzielenie przez |x + 1|).

Zgubiono 1.

Po podzieleniu powinno zostać |x - 1| + 1 = 0 - co daje sprzeczność.