Dowiedźmy prawdziwości hipotezy, wykorzystując liczbę [tex]4a[/tex], która posłuży nam za punkt odniesienia dla liczb [tex]a^{2n}[/tex] i [tex]b^{2n}[/tex].
[tex]a^n = a + 1\ \ \ \ \ |^2\\\left( a^n \right)^2 = \left(a + 1 \right)^2\\a^{2n} = (a + 1)^2[/tex]
Nierówność [tex](a - 1)^2 > 0[/tex] jest spełniona dla każdego [tex]a \in \mathbb{R} \setminus \{1 \}[/tex].
Z treści zadania wynika, że [tex]a^n = a + 1[/tex], a zatem [tex]a \neq 1[/tex], bo dla żadnego [tex]n[/tex] nie zachodzi równość [tex]1^n = 1 + 1[/tex].
Reasumując, w naszym zadaniu dowolne [tex]a[/tex] spełnia nierówność [tex](a - 1)^2 > 0[/tex].
[tex](a - 1)^2 > 0\\a^2 - 2a + 1 > 0 \ \ \ \ \ |+ 4a\\a^2 + 2a + 1 > 4a\\(a + 1)^2 > 4a[/tex]
...czyli [tex]a^{2n} > 4a[/tex].
[tex]b^{2n} = 3a + b \ \ \ \ \ | + a - b\\b^{2n} + a - b = 4a[/tex]
Połączmy wcześniejsze obliczenia w jedność:
[tex]a^{2n} > 2^{2n} + a - b \ \ \ \ \ |- a\\a^{2n} - a > b^{2n} - b\\[/tex]
Skoro [tex]a^n = a + 1[/tex], gdzie [tex]a > 0[/tex] i [tex]n \geq 2[/tex], to [tex]a \notin (0,\ 1)[/tex], bo w przeciwnym razie zachodziłaby nierówność [tex]a^n < 1[/tex], a przecież wiadomo, że [tex]a^n > 1[/tex].
Wcześniej ustaliliśmy, że [tex]a \neq 1[/tex]. Zauważmy też, że [tex]2n \geq 4[/tex].
Zbadajmy zatem monotoniczność funkcji [tex]f(x,\ y) = x^y - x[/tex], gdzie [tex]x > 1[/tex] i [tex]y \geq 4[/tex].
[tex]f'(x, y) = (x^y)' - x' = yx^{y - 1} - 1\\f'(x, y) \geq 0 \iff yx^{y-1} \geq 1[/tex]
Nierówność [tex]yx^{y-1} \geq 1[/tex] jest spełniona dla każdego [tex]x > 1[/tex] i [tex]y \geq 4[/tex], co oznacza, że [tex]f(x)[/tex] jest funkcją rosnącą w przedziale [tex]x \in (1,\ \infty)[/tex].
Płynie z tego następujący wniosek: [tex]{x_1} ^y - x_1 > {x_2}^y - x_2 \iff x_1 > x_2[/tex].
Skoro [tex]a^{2n} - a > b^{2n} - b[/tex], to [tex]a > b[/tex].
