Odpowiedź :
Mamy 7 swetrów i każdy musi trafić do którejś szuflady. Istnieje 7 sposobów rozmieszczenia 1 swetra w 1 szufladzie, a swetrów jest 7, więc istnieje [tex]7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 =7^7[/tex] takich kombinacji.
[tex]|\Omega| = 7^7 = 823543[/tex]
A.
Jeśli wszystkie szuflady mają być zajęte, to do każdej musi trafić dokładnie 1 sweter. Do pierwszej może trafić jeden z siedmiu możliwych, do drugiej jeden z pozostałych sześciu możliwych, do trzeciej jeden z pozostałych pięciu możliwych itd. Zatem istnieje [tex]7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 7![/tex] takich kombinacji.
[tex]|A| = 7!\\P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{7!}{7^7} = \frac{6!}{7^6} = \frac{720}{117649} \approx 0,00612[/tex]
B.
Jeśli co najmniej jedna szuflada ma być pusta, to znaczy że nie wszystkie szuflady mają być zajęte. Mamy więc zdarzenie przeciwne do poprzedniego. Wystarczy obliczone uprzednio P(A) odjąć od 1, bo jak wiadomo [tex]P(A) + P(A') = 1[/tex].
[tex]P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{720}{117649} \approx 0,99388[/tex]
C.
Jeśli tylko 1 szuflada ma być pusta, to znaczy, że do którejś trafią dwa swetry (w jednej szufladzie nie będzie żadnego, w drugiej dwa, a w pozostałych pięciu po jednym). Musimy pomnożyć przez siebie: liczbę możliwych sposobów wybrania 1 szuflady spośród 7; liczbę możliwych sposobów rozmieszczenia 2 swetrów spośród 7 (te 2 swetry trafią do wspólnej szuflady); liczbę sposobów rozmieszczenia 6 elementów (2 swetry, 1 sweter, 1 sweter, 1 sweter, 1 sweter, 1 sweter) do szuflad.
[tex]|C| = {7 \choose 1} \cdot {7 \choose 2} \cdot 6! = \frac{7!7!6!}{1!(7-1)!2!(7-2)!} = \frac{6!7!7!}{1!2!5!6!} = \frac{7!7!}{2!5!} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (6 \cdot 7)^2}{1} = 105840\\P(C) = \frac{|C|}{|\Omega|} = \frac{105840}{823543} \approx 0,12852[/tex]
D.
Mnożymy przez siebie: liczbę możliwych sposobów wybrania 2 szuflad spośród 7 (te szuflady nie będą puste); liczbę możliwych sposobów rozmieszczenia swetrów w tych dwu szufladach tak, żeby w każdej był co najmniej jeden. Mamy [tex]2^7[/tex] sposobów rozmieszczenia 7 swetrów w 2 szufladach, ale od tej liczby odejmujemy 2 sposoby (jedna pusta, w drugiej 7 oraz w jednej 7, druga pusta).
[tex]|D| = {7 \choose 2} \cdot (2^7 - 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} \cdot (128 - 2) = \frac{7!}{2!5!} \cdot 126 = \frac{6 \cdot 7\cdot 126}{2} = \frac{5292}{2} = 2646\\P(D) = \frac{|D|}{|\Omega|} = \frac{2646}{823543} \approx 0,00321[/tex]
