A = (- 9, - 2), B = (4, 2), C = (0, b)
Jak widać na rysunku w załączniku, istnieją dwa punkty C₁ i C₂ leżące na osi OY, dla których kąt ACB jest kątem prostym.
Korzystamy z tw. o współczynniku kierunkowym: Jeśli dwa różne punkty o współrzędnych [tex]A = (x_A, \ y_A) \ i \ B = (x_B, \ y_B)[/tex] należą do wykresu funkcji liniowej y = ax + b, to współczynnik kierunkowy a wyrażony jest wzorem:
[tex]a = \frac{y_B- y_A}{x_B - x_A}[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej AC
[tex]a_1 = \frac{b + 2}{0+9} = \frac{b+2}{9}[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej BC
[tex]a_2 = \frac{b - 2}{0-4} = \frac{b-2}{-4}= - \frac{b- 2}{4}[/tex]
Proste AC i BC są prostopadłe, zatem iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy - 1. Stąd:
[tex]a_1 \cdot a_2 = - 1 \\ \frac{b+2}{9} \cdot (- \frac{b-2}{4}) = - 1 \\ - \frac{(b+2)(b - 2)}{36} = - 1 \ \ \ |\cdot (-36) \\ (b+2)(b - 2) = 36 \\ b^2 - 4 = 36 \\ b^2 = 36+4 \\ b^2 = 40 \\ b = \sqrt{40} \ \ lub \ \ b = - \sqrt{40} \\ b = \sqrt{4 \cdot 10} \ \ lub \ \ b = - \sqrt{4 \cdot 10} \\ b = 2\sqrt{10} \ \ lub \ \ b = - 2\sqrt{10}[/tex]
Zatem:
[tex]C_1 = (0, \ 2\sqrt{10}) \ i \ C_2 = (0, \ - 2\sqrt{10})[/tex]
Odp. Są dwa szukane punkty spełniające warunki zadania: [tex]C_1 = (0, \ 2\sqrt{10})[/tex] i [tex]C_2 = (0, \ - 2\sqrt{10})[/tex].
