Co do zadanych poleceń można powiedzieć, że wygodniej będzie najpierw obliczyć cosinus kąta, a potem na jego podstawie wyznaczyć miarę tego kąta.
Zgodnie z poleceniem i na potrzeby zadania ustalmy takie oznaczenia:
Znając długość krawędzi podstawy (czyli też pole podstawy, bo jest to ostrosłup prawidłowy - każda krawędź jest jednakowa) i objętość bryły możemy wyznaczyć wysokość tej bryły, wiedząc że objętość ostrosłupa to 1/3 iloczynu podstawy i wysokości, co algebraicznie daje nam:
[tex]V=\frac{a^3\sqrt{3} }{12}=\frac{1}{3}P_pH[/tex]
[tex]P_p=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}[/tex]
[tex]\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3} }{4}H =\frac{a^3\sqrt{3} }{12}[/tex]
[tex]\frac{a^2\sqrt{3} }{12}H=\frac{a^3\sqrt{3} }{12} \\\\H=a[/tex]
--> widzimy, że wysokość ma tę samą miarę co krawędź podstawy.
Aby obliczyć [tex]h_b[/tex] potrzebujemy znać [tex]h_p[/tex], czyli wysokość trójkąta równobocznego, czyli:
[tex]h_p=\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]
Wysokość [tex]H[/tex] dzielić tę wysokość w stosunku 1:2 - odległość rzutu wierzchołka bryły na podstawę w kierunku środka ściany bocznej jest krótsza, czyli stanowi [tex]\frac{1}{3}h_p[/tex], czyli:
[tex]\frac{1}{3}h_p=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3} }{2}=\frac{a\sqrt{3} }{6}[/tex]
Znając wysokość bryły i powyższy odcinek, można policzyć wysokość ściany bocznej używając twierdzenie Pitagorasa, wtedy:
[tex]H^2+(\frac{a\sqrt{3} }{6} )^2=h_b^2\\\\H=a\\\\h_b=\sqrt{a^2+(\frac{a\sqrt{3} }{6} )^2} \\\\h_b=\sqrt{a^2+\frac{3a^2}{36} } \\\\h_b=\sqrt{\frac{12a^2+a^2}{12} } =a\sqrt{\frac{13}{12} }[/tex]
Trzymając się definicji cosinusa, wiemy, że: [tex]cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3} }{6} }{a\sqrt{ \frac{13}{12} }} =\frac{a\sqrt{3} }{6}\cdot \frac{1}{a\sqrt{\frac{13}{12} } } =\frac{\sqrt{3} }{6}\cdot\frac{\sqrt{\frac{13}{12} } }{\frac{13}{12} }= \frac{\sqrt{3\cdot\frac{13}{12} }}{6\cdot\frac{13}{12} } =\frac{\sqrt{\frac{13}{4} } }{\frac{13}{2} } =\\\\=\frac{1}{2} \sqrt{13}\cdot\frac{2}{13} =\frac{\sqrt{13} }{13}[/tex]
Korzystając funkcji cyklometrycznej możemy obliczyć miarę kąta, wtedy:
[tex]\alpha=arccos(\frac{\sqrt{13} }{13} )=73,9^o[/tex] (niecałe)