Odpowiedź:
f(x) = x² + bx + c
Jeżeli do wykresu funkcji należą punkty A i B , to współrzędne tych punktów spełniają warunki równania
a)
A = ( - 1 , 0 ) , B = (5 , 0 )
1. Dotyczy punktu A
Do wzoru funkcji wstawiamy współrzędne punktu A. Za f(x) wstawiamy współrzędną ya , a za x wstawiamy współrzędną xa
A = (- 1 , 0 )
xa = - 1 , ya = 0
f(x) = x² + bx + c
0 = (- 1)² + b * (- 1) + c
0 = 1 - b + c
2. Dotyczy punktu B
Do wzoru funkcji wstawiamy współrzędne punktu A. Za f(x) wstawiamy współrzędną yb , a za x wstawiamy współrzędną xb
B = (5 , 0 )
xb = 5 , yb = 0
f(x) = x² + bx + c
0 = 5² + 5 * b + c
0 = 25 + 5b + c
3. Tworzymy układ równań i rozwiązujemy ten układ równań
0 = 1 - b + c
0 = 25 + 5b + c
- b + c = - 1 | * (- 1)
5b + c = - 25
b - c = 1
5b + c = - 25
dodajemy równania
b + 5b - c + c = 1 - 25
6b = - 24
b = - 24/6 = - 4
b - c = 1
- 4 - c = 1
- c = 1 + 4
- c = 5
c = - 5
f(x) = x² - 4x - 5
4. Postać iloczynowa
Obliczamy miejsca zerowe
a = 1 , b = - 4 , c = - 5
Δ = b² - 4ac = (- 4)² - 4 * 1 * (- 5) = 16 + 20 = 36
√Δ = √36 = 6
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (4 - 6)/2 = - 2/2 = - 1
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (4 + 6)/2 = 10/2 = 5
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) = (x + 1)(x - 5)
5. Postać kanoniczna
f(x) = a(x - p)² + q
p = - b/2a = 4/2 = 2
q = - Δ/4a = - 36/4 = - 9
f(x) = (x - 2)² - 9
b)
A = ( 1 , 0 ) , B = (0 , - 3 )
xa = 1 , xb = 0 , ya = 0 , yb = - 3
1. Dotyczy punktu A
Do wzoru funkcji wstawiamy współrzędne punktu A. Za f(x) wstawiamy współrzędną ya , a za x wstawiamy współrzędną xa
f(x) = x² + bx + c
0 = 1² + b + c
0 = 1 + b + c
2. Dotyczy punktu B
Do wzoru funkcji wstawiamy współrzędne punktu A. Za f(x) wstawiamy współrzędną yb , a za x wstawiamy współrzędną xb
f(x) = x² + bx + c
- 3 = 0² + b * 0 + c
- 3 = c
c = - 3
3. Tworzymy układ równań i rozwiązujemy ten układ równań
0 = 1 + b + c
c = - 3
0 = 1 + b - 3
0 = - 2 + b
b = 2
f(x) = x² + bx + c = x² + 2x - 3
4. Postać iloczynowa
Obliczamy miejsca zerowe
a = 1 , b = 2 , c = - 3
Δ = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (- 3) = 4 + 12 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (- 2 - 4)/2 = - 6/2 = - 3
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 2 + 4)/2 = 2/2 = 1
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) = (x + 3)(x - 1)
5. Postać kanoniczna
f(x) = a(x - p)² + q
p = - b/2a = - 2/2 = - 1
q = - Δ/4a = - 16/4 = - 4
f(x) = (x + 1)² - 4
c)
A = ( 2 , 2 ) , B = ( 3 , 1 )
xa = 2 , xb = 3 , ya = 2 , yb = 1
f(x) = x² + bx + c
1.
2 = 2² + 2b + c
2 = 4 + 2b + c
2b + c = 2 - 4
2b + c = - 2
2.
1 = 3² + 3b + c
1 = 9 + 3b + c
3b + c = 1 - 9
3b + c = - 8
3.
2b + c = - 2
3b + c = - 8
odejmujemy równania
2b - 3b + c - c = - 2 + 8
- b = 6
b = - 6
2b + c = - 2
2 * (- 6) + c = - 2
- 12 + c = - 2
c = - 2 + 12 = 10
f(x) = x² - 2x + 10
Postać iloczynowa
Obliczamy miejsca zerowe
a = 1 , b = - 2 , c = 10
Δ = b² - 4ac = (- 2)² - 4 * 1 * 10 = 4 - 40 = - 36
Ponieważ Δ < 0 więc nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej
Postać kanoniczna
f(x) = a(x - p)² + q
p = - b/2a = 2/2 = 1
q = - Δ/4a = 36/4 = 9
f(x) = (x - 1)² + 9
