Zad. 3
w(x) = x³ - 5x² - 2x + 24
a = - 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), czyli w(- 2) = 0
Korzystamy z tw. Bezouta: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w(x), gdy wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x - a).
Stąd:
(x³ - 5x² - 2x + 24) : (x + 2) = x² - 7x + 12
- x³ - 2x²
- 7x² - 2x + 24
7x² + 14x
12x + 24
- 12x - 24
0
Zatem:
x³ - 5x² - 2x + 24 = (x + 2)(x² - 7x + 12)
Pierwiastki wielomianu w(x)
x³ - 5x² - 2x + 24 = 0
(x + 2)(x² - 7x + 12) = 0
x + 2 = 0 ∨ x² - 7x + 12 = 0
x + 2 = 0
x = - 2
x² - 7x + 12 = 0
Δ = (- 7)² - 4 · 1 · 12 = 49 - 48 = 1; √Δ = √1 = 1
[tex]x_1 = \frac{- (-7) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{7-1}{2} =\frac{6}{2} = 3 \\ x_2 = \frac{- (-7) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{7+1}{2} =\frac{8}{2} = 4[/tex]
Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: - 2, 3 i 4.
Postać iloczynowa wielomianu w(x): x³ - 5x² - 2x + 24 = (x + 2)(x - 3)(x - 4)
