Kolejne liczb z podziału liczby 1000 na 16 części, tak aby każda następna była o 5 większa od poprzedniej, to liczby:
a₁
a₂ = a₁ + 5 = a₁ + 1 · 5
a₃ = a₂ + 5 = a₁ + 1 · 5 + 5 = a₁ + 2 · 5 = a₁ + 10
a₄ = a₃ + 5 = a₁ + 2 · 5 + 5 = a₁ + 3 · 5 = a₁ + 15
...
a₁₆ = a₁₅ + 5 = a₁ + 14 · 5 + 5 = a₁ + 15 · 5 = a₁ + 75
Zatem liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r = 5.
Wszystkie 16 liczb daje w sumie 1000. Stąd:
[tex]S_{16} = 1000 \\ S_{16}= \frac{a_1+a_{16}}{\not{2}_1} \cdot \not{16}^8 = (a_1+a_{16}) \cdot 8 = (a_1+a_1 + 75) \cdot 8 = (2a_1 + 75) \cdot 8 = \\ = 16a_1+600 \\Zatem: \\ 16a_1+600 = 1000 \\ 16a_1=1000-600 \\ 16a_1=400 \ \ \ |:16 \\ \underline{a_1 = 25} \\\\ a_{16} = a_1 + 75 \\ a_{16} =25+75 \\ \underline{a_{16} =100}[/tex]
Odp. Pierwsza część wynosi 25, a ostatnia 100.
----------
Ciąg geometryczny: a₁, a₂, a₃
a₁ + a₂ = 8
a₁ = 8 - a₂
a₃ - a₁ = 16
a₃ = 16 + a₁
a₃ = 16 + 8 - a₂
a₃ = 24 - a₂
Korzystamy z własności ciągu geometrycznego:
[tex]a^2_2 = a_1 \cdot a_3 \\ a^2_2 = (8 - a_2) \cdot (24 -a_2) \\ a^2_2 = 192 - 8a_2-24a_2+ a^2_2 \\ a^2_2 +8a_2+24a_2-a^2_2=192 \\ 32a_2=192 \ \ \ |:32 \\ \underline{a_2 = 6} \\\\ a_1 = 8 - a_2 \\ a_1 = 8 - 6 \\ \underline{a_1 = 2} \\\\ a_3 = 24 - a_2 \\ a_3 = 24 - 6 \\ \underline{a_3 = 18}[/tex]
Odp. Szukane liczby to 2, 6 i 18.
----------
Ciąg geometryczny: a₁, a₂, a₃
a₁ = 4
a₁ + a₂ + a₃ = 52
4 + a₂ + a₃ = 52
a₂ + a₃ = 52 - 4
a₂ + a₃ = 48
a₃ = 48 - a₂
Korzystamy z własności ciągu geometrycznego:
[tex]a^2_2 = a_1 \cdot a_3 \\ a^2_2=4 \cdot (48 -a_2) \\ a^2_2 = 192 - 4a_2 \\ a^2_2 +4a_2-192=0 \\ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16+768 = 784; \ \sqrt{\Delta} =\sqrt{784} = 28 \\ a_2=\frac{-4-28}{2 \cdot 1} =\frac{-32}{2} =-16 \ \ lub \ \ a_2=\frac{-4+28}{2 \cdot 1} =\frac{24}{2} =12 \\\\ \underline{a_2 = - 16} \ to: \\ a_3 = 48 - a_2 \\ a_3=48-(- 16) \\ a_3 = 48 + 16 \\ \underline{a_3 = 64} \\\\ \underline{a_2=12} \ to: \\ a_3 = 48 - a_2 \\ a_3 = 48 -12 \\ \underline{a_3 =36}[/tex]
Odp. Szukane liczby to 4, - 16 i 64 lub 4, 12 i 36.
