Zad. 1
Korzystamy z własności i praw działań na logarytmach (zał. 2)
[tex]log_x y = 10, \ x, \ y \in R^+, x \neq 1 \ i \ y \neq \frac{1}{x} \\\\ \dfrac{1}{log_{xy}x} = log_x xy = log_xx+log_xy = 1 + 10 = 11[/tex]
Odp. D
Zad. 2
Ustalamy dla jakiego parametru p równanie |f(x)| - 1 = p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie na podstawie:
Sposób 1. Wykresu funkcji y = |f(x)| - 1
Równanie: |f(x)| - 1 = p
Lewa strona równania to funkcja y = |f(x)| - 1, której wykres otrzymujemy przez nałożenie wartości bezwzględnej na funkcję homograficzną y = f(x), czyli część wykresu (wykres w treści zadania) znajdującą się pod osią X odbijamy ponad oś i następnie przesuwamy o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY (rys. w zał. 1).
Prawa strona równania to funkcja y = p, której wykresem jest prosta równoległa do osi OX i przechodząca przez punkt (0, p).
W zależności od wartości parametru p wykresy funkcji y = |f(x)| - 1 i y = p nie mają punktów wspólnych, czyli równanie |f(x)| - 1 = p nie ma rozwiązania, jeden lub dwa punkty wspólne, wtedy równanie |f(x)| - 1 = p ma dokładnie jedno lub dwa rozwiązania.
Z wykresu (zał. 1) odczytujemy, że wykresy funkcji y = |f(x)| - 1 i y = p mają jeden punkt wspólny dla p = - 1 lub p = 1. Zatem równanie |f(x)| - 1 = p ma dokładnie jedno rozwiązanie dla p = - 1 lub p = 1.
Odp. D
Sposób 2. Wzoru funkcji y = |f(x)| - 1
Z treści zadania i z fragmentu wykresu funkcji homograficznej y = f(x), której postać kanoniczna wyraża się wzorem: [tex]y = f(x) = \frac{k}{x - p} + q[/tex], wiemy, że:
D = (- ∞; 1) ∪ (1; ∞), czyli p = 1
ZW = (- ∞; 2) ∪ (2; ∞), czyli q = 2
Zatem funkcja f wyraża się wzorem: [tex]f(x) = \frac{k}{x - 1} + 2[/tex]
Do wykresu funkcji f należy punkt (0, 3). Stąd:
[tex]\frac{k}{0 - 1} + 2 = 3 \\ \frac{k}{- 1} = 3 - 2 \\ \frac{k}{- 1} = 1 \ \ \ |\cdot (-1) \\ k = -1[/tex]
Zatem funkcja f wyraża się wzorem: [tex]f(x) = \frac{- 1}{x - 1} + 2[/tex]
Stąd:
[tex]|f(x)| - 1 = p \\ |\frac{-1}{x-1} +2| - 1 =p \ i \ x\neq 1 \\\\ \underline{p = 1}\\ |\frac{-1}{x-1} +2| - 1 =1 \\ |\frac{-1}{x-1} +2| = 1+1 \\ |\frac{-1}{x-1} +2| =2 \\ \frac{-1}{x-1} +2 = 2 \ \vee \ \frac{-1}{x-1} +2= - 2 \\ \frac{-1}{x-1} +2 = 2 \\ \frac{-1}{x-1} = 2-2 \\ \frac{-1}{x-1} =0 \ \ \ |\cdot (x - 1) \ i \ x \neq 1 \\ - 1 = 0 \\ sprzeczno\'s\'c, \ r\'ownanie \ nie \ ma \ rozwiazania \\ \frac{-1}{x-1} +2= - 2 \\ \frac{-1}{x-1}= - 2-2 \\\frac{-1}{x-1}= - 4 \ \ \ |\cdot (x - 1) \ i \ x \neq 1[/tex]
[tex]- 1 = - 4 \cdot (x - 1) \\ - 1 = - 4x + 4 \\ 4x = 4 + 1 \\ 4x = 5 \ \ \ |:4 \\ x = \frac{5}{4} \\ x = 1\frac{1}{4}[/tex]
Dla p = 1 równanie |f(x)| - 1 = p ma dokładnie jedno rozwiązanie.
[tex]\underline{p = - 1}\\ |\frac{-1}{x-1} +2| - 1 =-1 \\ |\frac{-1}{x-1} +2| = -1+1 \\ |\frac{-1}{x-1} +2| =0 \\ \frac{-1}{x-1} +2 = 0 \\ \frac{-1}{x-1} =-2 \ \ \ |\cdot (x - 1) \ i \ x \neq 1 \\ - 1 = - 2 \cdot (x - 1) \\ - 1 = - 2x + 2 \\ 2x = 2+1 \\ 2x = 3 \ \ \ |:2 \\ x = \frac{3}{2} \\ x = 1\frac{1}{2}[/tex]
Dla p = - 1 równanie |f(x)| - 1 = p ma dokładnie jedno rozwiązanie.
[tex]\underline{p = - 2}\\ |\frac{-1}{x-1} +2| - 1 =-2 \\ |\frac{-1}{x-1} +2| = -2+1 \\ |\frac{-1}{x-1} +2| =-1[/tex]
sprzeczność, ponieważ wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną
Dla p = - 2 równanie |f(x)| - 1 = p nie ma rozwiązania.
[tex]\underline{p = 0}\\ |\frac{-1}{x-1} +2|-1=0 \\ |\frac{-1}{x-1} +2|=1 \\ \frac{-1}{x-1}+2=1 \ \vee \ \frac{-1}{x-1}+2=-1 \\ \frac{-1}{x-1}+2=1 \\ \frac{-1}{x-1}=1-2 \\ \frac{-1}{x-1}=-1 \ \ \ |\cdot (x-1) \ i \ x \neq 1 \\ -1=-1 \cdot (x-1) \\ -1=-x+1 \\ x=1+1 \\ \underline{x=2} \\ \frac{-1}{x-1}+2=-1 \\ \frac{-1}{x-1}=-1-2 \\ \frac{-1}{x-1}=-3 \ \ \ |\cdot (x-1) \ i \ x \neq 1 \\ -1 =-3 \cdot (x-1) \\ -1=-3x+3 \\ 3x=3+1 \\ 3x=4 \ \ \ |:3 \\ x=\frac{4}{3} \\ \underline{x=1\frac{1}{3}}[/tex]
Dla p = 0 równanie |f(x)| - 1 = p ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zatem równanie |f(x)| - 1 = p ma dokładnie jedno rozwiązanie dla p = - 1 lub p = 1.
Odp. D
