f(x) = |- |x + 2| + 3| - 1
Liczba rozwiązań równania:
f(x) = m
|- |x + 2| + 3| - 1 = m
Wykresem prawej strony równania jest prosta y = m, czyli prosta równoległa do osi OX i przechodząca przez punkt (0, m).
Rysujemy wykres lewej strony równania, czyli wykres y = |- |x + 2| + 3| - 1
1. Rysujemy prostą y = x + 2, czyli wyznaczamy dwa punkty należące do tej prostej, np. (0, 2) i (- 2, 0) i rysujemy prostą przechodzącą przez te punkty.
2. Odbijamy część prostej leżącą pod osią OX na tę oś.
3. Otrzymany wykres przekształcamy przez symetrię osiowa względem osi OX, czyli to co znajduje się nad osią OX przenosimy o tyle samo jednostek pod oś, a to co znajduje się pod osią przenosimy o tyle samo jednostek nad oś OX.
4. Przesuwamy wykres o 3 jednostki w górę.
5. Odbijamy część wykresu leżącą pod osią OX na tę oś.
6. Przesuwamy otrzymany wykres o 1 jednostkę w dół i otrzymujemy wykres y = |- |x + 2| + 3| - 1 (rys. w zał.)
Z wykresu widać, że dla m < - 1 prosta y = m nie ma punktów wspólnych z wykresem funkcji y = |- |x + 2| + 3| - 1, czyli dla m < - 1 dane równanie nie ma rozwiązania. Dla m = - 1 i m > 2 wykresy przecinają się w dwóch punktach, czyli dane równanie ma dwa rozwiązania. Dla m = 2 wykresy przecinają się w trzech punktach czyli dane równanie ma trzy rozwiązania. Dla m ∈ (- 1, 2) wykresy przecinają się w czterech punktach, czyli dane równanie ma cztery rozwiązania.
Odp.
[tex]Liczba \ rozwiaza\'n \ r\'ownania = \begin{cases} 0 &\text{je\.zeli } m < - 1 \\ 2 &\text{je\.zeli } m = - 1 \ lub \ m> 2 \\ 3 &\text{je\.zeli } m = 2 \\ 4 &\text{je\.zeli } - 1 <m <2 \end{cases}[/tex]
