Wystarczy zauważyć, że [tex]\sin(x)(1+\cos(x))=\sin (x)+\frac{1}{2} \sin (2x)[/tex] zatem funkcja jest swoim własnym rozwinięciem Fouriera. Tożsamość Plancherela mówi, że:
[tex]$\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$[/tex]
czyli w tym przypadku, że:
[tex]$\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(\sin x(1+\cos x))^{2}\,\mathrm {d} x=1^2+(1/2)^2$[/tex]
czyli
[tex]$\int _{-\pi }^{\pi }(\sin x(1+\cos x))^{2}\,\mathrm {d}x=\frac{5\pi}{4}$[/tex]
No i to jest oczywiście prawda można to po prostu policzyć i zauważyć, że:
[tex]$\frac{1}{96} (60 x+48 \sin (x)-24 \sin (2 x)-16 \sin (3 x)-3 \sin (4 x))$[/tex] to całka z tej funkcji.
