Zad. 29
Obwód pięciokąta: L₁
Obwód powiększonego pięciokąta: L₂
Pole pięciokąta: P₁
Pole powiększonego pięciokąta: P₂
Pięciokąt i powiększony pięciokąt są figurami podobnymi, zatem stosunek ich obwodów w skali k, jest równy k, a stosunek ich pól w skali k, jest równy k². Stąd:
[tex]L_2 = 3 \cdot L_1 \\ \frac{L_2}{L_1} = 3 \\ Zatem: k = 3 \\ \frac{P_2}{P_1} =k^2 \\ \frac{P_2}{P_1} =3^2 \\ \frac{P_2}{P_1} =9 \\ P_2 = 9 \cdot P_1[/tex]
Odp. Pole pięciokąta wzrosło 9 razy.
Zad. 30
Położenie prostej i okręgu zależy od odległości środka okręgu od tej prostej. Zatem jeśli odległość środka okręgu od prostej jest:
- większa od promienia to prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem,
- równa promieniowi to prosta jest styczna do okręgu, czyli ma jeden punkt wspólny z okręgiem
- mniejsza od promienia to prosta jest sieczną okręgu, czyli ma dwa punkty wspólne z okręgiem (zał. 1)
a)
r = 5 i d = 6 ⇒ d > r
Zatem prosta i okrąg nie ma punktów wspólnych.
b)
r = 5 i d = 5 ⇒ d = r
Zatem prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny, czyli prosta jest styczna do okręgu.
c)
r = 6 i d = 5 ⇒ d < r
Zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne, czyli prosta jest sieczną okręgu.
Zad. 31
Kąt środkowy okręgu to kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu, a ramiona są półprostymi zawierającymi promienie okręgu.
Miara kąta środkowego jest taką częścią kąta pełnego, jaką częścią okręgu jest łuk, na którym ten kąt jest oparty.
Okrąg podzielono na trzy części w stosunku 3 : 4 : 5 (zał. 2)
Zatem otrzymane łuki stanowią odpowiednio ³/₁₂, ⁴/₁₂ i ⁵/₁₂ okręgu.
Miary wyznaczonych kątów środkowych:
[tex]\frac{3}{\not{12}_1} \cdot \not{360^o}^{30^o} = 3 \cdot 30^o = 90^o \\ \frac{4}{\not{12}_1} \cdot \not{360^o}^{30^o} = 4 \cdot 30^o =120^o \\ \frac{5}{\not{12}_1} \cdot \not{360^o}^{30^o} = 5 \cdot 30^o = 150^o[/tex]
Odp. Wyznaczone kąty środkowe mają miary: 90°, 120° i 150°.
