[tex]|\frac{-3x+2}{x-2}| = m[/tex]
Założenie:
x - 2 ≠ 0
x ≠ 2
I sposób
Liczbę rozwiązań równania ustalimy na podstawie wykresu lewej i prawej strony równania.
Wykres lewej strony równania [tex]y = |\frac{-3x+2}{x-2}|[/tex]
1. Rysujemy wykres hiperboli [tex]y = \frac{-3x+2}{x-2}[/tex]
[tex]y = \frac{-3x+2}{x-2}= \frac{-3(x-2) -4}{x-2} =\frac{-3(x-2)}{x-2}+ \frac{-4}{x-2}= -3+ \frac{-4}{x-2}=\frac{-4}{x-2}- 3[/tex]
- rysujemy wykres hiperboli [tex]y = \frac{-4}{x}[/tex]
- przesuwamy otrzymany wykres o wektor [2, - 3], czyli o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi OX i 3 jednostki w dół wzdłuż osi OY
2. Nakładamy wartość bezwzględną na całą funkcję, czyli odbijamy część wykresu leżącą pod osią OX na tę oś i otrzymujemy wykres [tex]y =|\frac{-3x+2}{x-2}|[/tex] (wykres w zał.)
Wykres prawej strony równania [tex]y = m[/tex]
Wykresem prawej strony równania jest prosta y = m, czyli prosta równoległa do osi OX i przechodząca przez punkt (0, m).
Z wykresu widać, że dla m < 0 prosta y = m nie ma punktów wspólnych z wykresem funkcji [tex]y = |\frac{-3x+2}{x-2}|[/tex], czyli dla m < dane równanie nie ma rozwiązania. Dla m = 0 i m = 3 wykresy przecinają się w jednym punkcie, czyli dane równanie ma jedno rozwiązania. Dla m > 0 i m ≠ 3 wykresy przecinają się w dwóch punktach czyli dane równanie ma dwa rozwiązania.
Odp.
[tex]Liczba \ rozwiaza\'n \ r\'ownani \ y = |\frac{-3x+2}{x-2}| = m \begin{cases} 0 &\text{je\.zeli } m < 0\\ 1 &\text{je\.zeli } m = 0 \ lub \ m = 3 \\ 2 &\text{je\.zeli } m \in (0, \ 3) \cup (3, \ + \infty) \end{cases}[/tex]
II sposób
[tex]|\frac{-3x+2}{x-2}| = m[/tex]
m < 0
Dla m < 0 prawa strona równania jest ujemna, czyli równanie jest sprzeczne, ponieważ wartości bezwzględnej jest zawsze liczbą nieujemną.
Zatem dla m < 0 dane równanie nie ma rozwiązania.
m = 0
[tex]|\frac{-3x+2}{x-2}| = 0 \\ \frac{-3x+2}{x-2} =0 \ \ \ |\cdot (x - 2) \ i \ x\neq 2 \\ -3x + 2 = 0 \\ - 3x = - 2 \ \ \ |:(-3) \\ x = \frac{2}{3}[/tex]
Zatem dla m = 0 dane równanie ma jedno rozwiązanie: [tex]x = \frac{2}{3}[/tex]
m > 0
[tex]|\frac{-3x+2}{x-2}| = m \\ \frac{-3x+2}{x-2} = m \ lub \ \frac{-3x+2}{x-2} = - m \\\\ \frac{-3x+2}{x-2} = m \ \ \ |\cdot (x - 2) \ i \ x \neq 2 \\ -3x + 2 = m \cdot (x - 2) \\ -3x +2 = mx - 2m \\ -3x - mx = - 2m - 2 \\ (-3 -m)x = -2m - 2[/tex]
Sprawdzamy dla jakiego m wyrażenie (- 3 - m) jest równe 0
- 3 - m = 0
- m = 3 |·(-1)
m = - 3 ∉ (0, + ∞)
[tex](-3 -m)x = -2m - 2 \ \ \ |:(-3-m) \\ x = \frac{-2m-2}{-3-m}[/tex]
lub
[tex]\frac{-3x+2}{x-2} = - m \ \ \ |\cdot (x - 2) \ i \ x \neq 2 \\ -3x + 2 = -m \cdot (x - 2) \\ -3x +2 = -mx + 2m \\ -3x + mx = 2m - 2 \\ (-3+m)x = 2m - 2[/tex]
Sprawdzamy dla jakiego m wyrażenie (- 3 + m) jest równe 0
- 3 + m = 0
m = 3 ∈ (0, + ∞)
m = 3 to:
(- 3 + 3)x =2 · 0 - 2
0 = - 2
otrzymujemy sprzeczność, czyli dla m = 3 nie ma rozwiązania
[tex](-3+m)x = 2m - 2 \ \ \ |:(-3+m) \ i \ m\neq 3 \\ x = \frac{2m-2}{-3+m}[/tex]
Ostatecznie dla m > 0 otrzymujemy, że dla m > 0 i m ≠ 3 równanie ma dwa rozwiązania: [tex]x = \frac{-2m-2}{-3-m} \ lub \ x = \frac{2m-2}{-3+m}[/tex], a dla m = 3 ma jedno rozwiązanie: [tex]x = 1\frac{1}{3}[/tex]
Odp.
[tex]Liczba \ rozwiaza\'n \ r\'ownani \ y = |\frac{-3x+2}{x-2}| = m \begin{cases} 0 &\text{je\.zeli } m < 0\\ 1 &\text{je\.zeli } m = 0 \ lub \ m = 3 \\ 2 &\text{je\.zeli } m \in (0, \ 3) \cup (3, \ + \infty) \end{cases}[/tex]
