Odpowiedź:
zad 2
y = - 1/x
Funkcja ta jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej postaci
y = - a/x. Wykresem funkcji jest hyperbola mająca ramiona w II i IV ćwiartce układu współrzędnych ponieważ a < 0
Df: x ∈ R \ {0}
ZWf: y ∈ R \ {0}
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ (- ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )
asymptota pozioma: x = 0
asymptota pionowa : y = 0
y = - 1/(x - 4)
Funkcja y = - 1/(x - 4) powstaje poprzez przesunięcie funkcji y = - 1/x o 4 jednostki w prawo , czyli asymptota pionowa jest przesunięta o 4 jednostki w prawo
Wykresy funkcji w załączniku
zad 3
4x/(x² - 9)
założenie:
x² - 9 ≠ 0
(x - 3)(x + 3) ≠ 0
x - 3 ≠ 0 ∧ x + 3 ≠ 0
x ≠ 3 ∧ x ≠ - 3
D: x ∈ R \ {- 3 , 3 }
dla x = - 1
4 * (- 1)/[(- 1)² - 9] = - 4/(1 - 9) = - 4/(- 8) = 4/8 = 1/2
zad 4
a)
(4x + 2)/x * 2x²/(2x + 1)
założenie:
x ≠ 0 ∧ 2x + 1 ≠ 0
x ≠ 0 ∧ 2x ≠ - 1
x ≠ 0 ∧ x ≠ - 1/2
D: x ∈ R \ {- 1/2 , 0 }
(4x + 2)/x * 2x²/(2x + 1) = 2x(4x + 2)/(2x + 1) = 2x * 2(2x + 1)/(2x + 1) =
= 4x * 1 = 4x
b)
3/(x + 4) + 5/(x - 4)
założenie:
x + 4 ≠ 0 ∧ x - 4 ≠ 0
x ≠ - 4 ∧ x ≠ 4
D: x ∈ R \ { - 4 , 4 }
[3(x - 4) + 5(x + 4)]/[(x + 4)(x - 4)] = (3x - 12 + 5x + 20)/(x² - 16) =
= (8x + 8)/(x² - 16) = 8(x + 1)/(x² - 16)
c)
x/(x - 1) - (2 + x)/x
założenie:
x - 1 ≠ 0 ∧ x ≠ 0
x ≠ 1 ∧ x ≠ 0
D: x ∈ R \ { 0 , 1 }
[x * x - (2 + x)(x - 1)/[x(x - 1)]
[x² - (2x + x² - 2 - x)]/[x(x - 1)]
(x² - (x² + x - 2)]/[x(x - 1)]
(x² - x² - x + 2)/[x(x - 1)]
(2 - x)/[x(x - 1)]
zad 5
x/(x - 1) = 2
założenie:
x - 1 ≠ 0
x ≠ 1
D: x ∈ R \ {1 }
x/(x - 1) = 2
x = 2(x - 1)
x = 2x - 2
x - 2x = - 2
- x = - 2
x = 2
zad 6
(- 1 1/2)³ = (- 3/2)³ = - 27/8 = - 3 3/8
4 ⁻² = (1/4)² = 1/16
(- 1 2/5)⁻¹ = (- 7/5)⁻¹ = (- 5/7)¹ = - 5/7
(6 1/4)¹⁾² = (25/4)¹⁾² = √(25/4) = 5/2 = 2 1/2
8 ⁻²⁾³ = (1/8)²⁾³ = ∛(1/8)² = ∛(1/8) * ∛(1/8) = 1/2 * 1/2 = 1/4
zad 7
a) 2 ¹⁾³ * 32¹⁾³ = (2 * 32)¹⁾³ = 64¹⁾³ = ∛64 = 4
b) 12⁰'⁵ : 3⁰'⁵ = (12/3)⁰'⁵ = 4⁰'⁵ = 4¹⁾² = √4 = 2
