Odpowiedź:
zad 33
A = ( 2 , - 1 ) , B = (8 , 3 ) , C = ( 3 , 4 )
xa = 2 , xb = 8 , xc = 3 , ya = - 1 , yb = 3 , yc = 4
1.
Obliczamy prostą , w której zawiera się bok IABI
(xb - xa)(y - ya) = (yb - ya)(x - xa)
(8 - 2)(y + 1) = (3 + 1)(x - 2)
6(y + 1) = 4(x - 2)
6y + 6 = 4x - 8
6y = 4x - 8 - 6
6y = 4x - 14
y = (4/6)x - 14/6
y = (2/3)x - 2 2/6
y = (2/3)x - 2 1/3
2.
Obliczamy prostą w której jest zawarty bok IADI. Jest to prosta prostopadła do prostej y = (2/3)x - 2 1/3 i przechodzi przez punkt A
Warunek prostopadłości prostych
a₁ * a₂ = - 1
a₂ - współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej = - 1/a₁
a₂ = - 1/a₁ = - 1 : 2/3 = - 1 * 3/2 = - 3/2 = - 1 1/2
y = (- 3/2)x + b₂ , A = ( 2 , - 1 )
- 1 = - 3/2 * 2 + b₂
- 1 = - 3 + b₂
b₂ = - 1 + 3 = 2
y = (- 3/2)x + 2 prosta przechodząca przez punkty A i D
3.
Obliczamy prostą przechodzącą przez punkty C i D . Jest to prosta równoległa do prostej przechodzącej przez punkty A i B. Ponieważ proste są równoległe , więc maja jednakowe współczynniki kierunkowe
y = (2/3)x + b₂ , C = ( 3 , 4 )
4 = 2/3 * 3 + b₂
4 = 2 + b₂
b₂ = 4 - 2 = 2
y = (2/3)x + 2 prosta przechodząca przez punkty C i D
4.
Układ równań
y = (- 3/2)x + 2
y = (2/3)x + 2
- 3/2x + 2 = 2/3x + 2 | * 6
- 3x * 3 + 12 = 2x * 2 + 12
- 9x + 12 = 4x + 12
- 9x - 4x = 12 - 12
- 13x = 0
x = 0
y = 2/3x + 2
y = 2/3 * 0 + 2
y = 0 + 2
y = 2
D - współrzędne punktu = (0 , 2 )
5.
IABI - długość odcinka = √[(xb - xa)² + (yb - ya)²] = √[(8 - 2)² + (3 + 1)²] =
= √(6² + 4²) = √(36 + 16) = √50 = √(25 * 2) = 5√2 [j]
ICDI = √[(xd - xc)² + (yd - yc)²] = √[(0 - 3)² + (2 - 4)²] = √[(- 3)² + (- 2)²] =
= √(9 + 4) = √13 [j]
IADI = √[(xd - xa)² + (yd - ya)²] = √[(0 - 2)² + (2 + 1)²] = √[(- 2)² + 3²] =
= √(4 + 9) = √13 [j]
6.
P - pole trapezu = 1/2 * (IABI + ICDI) * IADI = 1/2 * (5√2 + √13) * √13 =
= 1/2 * 5√2 * √13 + 1/2 * √13 * √13 = 1/2 * 5√(2 * 13) + 1/2 * 13 =
= 1/2 * 5√26 + 6,5 = 2,5√26 + 6,5 = 2,5(√26 + 2,6) [j²]
zad 34
an = 6n -2020 , n ∈ N⁺
a₁ =6 * 1 - 2020 = 6 - 2020 = - 2014
a₂ = 6 * 2 - 2020 = 12 - 2020 = 2008
a₂ - a₁ = r - różnica ciągu
r = 2008 - 2020 = - 12
6n - 2020 < 0
6n < 2020
n < 2020 : 6
n < 336,(6)
Ponieważ n ∈ N⁺ więc liczba ujemnych wyrazów ciągu wynosi 336
a₃₃₆ = a₁ + 335r = - 2014 + 335 * (- 12) = - 2014 - 4020 = - 6034
S₃₃₆ = (a₁ + a₃₃₆) * 336/2 = (- 2014 - 6034) * 168 = - 8048 * 168 =
= - 1352064
