Zad. 1
Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia - patrz zał.
a)
[tex](\sqrt{7-2\sqrt{6}} +\sqrt{7+2\sqrt{6}})^2=(\sqrt{7-2\sqrt{6}})^2 +2 \cdot \sqrt{7-2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{7+2\sqrt{6}}+ \\ + (\sqrt{7+2\sqrt{6}})^2=7-2\sqrt{6} + 2 \cdot \sqrt{(7-2\sqrt{6})(7+2\sqrt{6})} + 7+2\sqrt{6} = 14 + \\ + 2 \cdot \sqrt{7^2 - (2\sqrt{6})^2} = 14+2 \cdot \sqrt{49-4\cdot 6} =14+2 \cdot \sqrt{49-24} = 14 + \\ + 2 \cdot \sqrt{25} =14 + 2 \cdot 5 = 14 + 10 = 24[/tex]
b)
[tex](\sqrt{3-2\sqrt{2}} +\sqrt{3-2\sqrt{2}})^2=(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^2 +2 \cdot \sqrt{3-2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{3-2\sqrt{2}}+ \\ + (\sqrt{3-2\sqrt{2}})^2=3-2\sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{(3-2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} +3-2\sqrt{6} = 6 -4\sqrt{2} + \\ + 2 \cdot \sqrt{(3- 2\sqrt{2})^2} = 6 -4\sqrt{2} + 2 \cdot (3- 2\sqrt{2}) = 6 -4\sqrt{2} + 6- 4\sqrt{2}=12- 8\sqrt{2}[/tex]
c)
[tex](\sqrt{6-2\sqrt{5}} +\sqrt{6+2\sqrt{5}})^2=(\sqrt{6-2\sqrt{5}})^2 +2 \cdot \sqrt{6-2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6+2\sqrt{5}}+ \\ + (\sqrt{6+2\sqrt{5}})^2=6-2\sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{(6-2\sqrt{5})(6+2\sqrt{5})}+6+2\sqrt{5}=12+ \\ + 2 \cdot \sqrt{6^2-(2\sqrt{5})^2} = 12 + 2 \cdot \sqrt{36-4 \cdot 5} = 12 + 2 \cdot \sqrt{36-20} = 12 + 2 \cdot \sqrt{16} = \\ =12 + 2 \cdot 4 = 12 +8=20[/tex]
d)
[tex](\sqrt{2\sqrt{5}-11} +\sqrt{2\sqrt{5}+11})^2[/tex]
[tex]2\sqrt{5}-11 \approx - 6,53[/tex], a w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej, która po podniesieniu do parzystej potęgi dawałaby liczbę ujemną. Zatem tego przykładu nie da się rozwiązać.
e)
[tex](\sqrt{2\sqrt{15}-\sqrt{11}}+\sqrt{2\sqrt{15}+\sqrt{11}})^2=(\sqrt{2\sqrt{15}-\sqrt{11}}) ^2+ \\ +2 \cdot \sqrt{2\sqrt{15}-\sqrt{11}} \cdot \sqrt{2\sqrt{15}+\sqrt{11}}+(\sqrt{2\sqrt{15}+\sqrt{11}} )^2=2\sqrt{15}-\sqrt{11} + \\ +2\cdot\sqrt{(2\sqrt{15}-\sqrt{11})(\sqrt{2\sqrt{15}+\sqrt{11}})}+2\sqrt{15}+\sqrt{11}=4\sqrt{15}+\\ +2 \cdot \sqrt{(2\sqrt{15})^2-(\sqrt{11})^2}=4\sqrt{15}+2 \cdot \sqrt{4 \cdot 15-11}=4\sqrt{15}+2 \cdot\sqrt{60-11}= \\=4\sqrt{15}+2 \cdot\sqrt{49}=4\sqrt{15}+2 \cdot 7 =4\sqrt{15}+14[/tex]
