Ciąg (aₙ) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli iloraz [tex]q = \frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] jest stały (niezależny do n).
[tex]a_n = \dfrac{2 \cdot 3^{n+1}}{4^n}, \ n \in N^+ \\\\ a_n = \dfrac{2 \cdot 3^n \cdot 3^1}{4^n} = \dfrac{2 \cdot 3^n \cdot 3}{4^n} = \dfrac{6 \cdot 3^n}{4^n} = 6 \cdot (\frac{3}{4})^n \\\\ a_{n+1}=6 \cdot (\frac{3}{4})^{n+1}= 6 \cdot (\frac{3}{4})^n \cdot (\frac{3}{4})^1 = \not{6}^3 \cdot (\frac{3}{4})^n \cdot \frac{3}{\not{4}_2}=\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{4})^n[/tex]
[tex]q= \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{4})^n}{6 \cdot (\frac{3}{4})^n}=\frac{9}{2} : 6 = \frac{\not{9}^3}{2} \cdot \frac{1}{\not{6}_2} =\frac{3}{4}[/tex]
Iloraz q = ³/₄ jest stały (niezależny do n), zatem dany ciąg (aₙ) jest ciągiem geometrycznym.
