Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy tu do czynienia z liczeniem pochodnej funkcji złożonej. Jeśli mamy dwie funkcje f(x) i g(x), a chcemy policzyć pochodną złożenia f(g(x)) tych funkcji to korzystamy z ze wzoru
[tex][f(g(x))]'=f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex].
W naszym przypadku dokonano złożenia jakiejś funkcji f(x) z funkcją [tex]g(x)=\frac{1}{x}[/tex]. Wówczas zgodnie z wzorem na pochodną funkcji złożonej mamy
[tex][f\left(\frac{1}{x}\right)]'=f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)'=f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right)[/tex]
Spróbujmy popatrzeć na jakiś przykład. Obliczmy pochodną [tex]\cos\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]. Mamy tu złożenie funkcji [tex]f(x)=\cos x[/tex] i [tex]g(x)=\frac{1}{x}[/tex]. Liczymy pochodną
[tex][\cos\left(\frac{1}{x}\right)]'=-\sin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)'=-\sin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x^2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]
