V0xer
Rozwiązane

Dodatnie liczby całkowite a, b, c spełniają równość a^3*b^3 + b^3*c^3 + c^3*a^3 =abc(a^3+b^3+c^3). Udowodnij, że iloczyn pewnych dwóch z nich jest kwadratem liczby całkowitej.



Dodatnie Liczby Całkowite A B C Spełniają Równość A3b3 B3c3 C3a3 Abca3b3c3 Udowodnij Że Iloczyn Pewnych Dwóch Z Nich Jest Kwadratem Liczby Całkowitej class=

Odpowiedź :

Piok

Wystarczy zauważyć, że:

[tex]$a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 - abc (a^3 + b^3 + c^3)=$[/tex]

[tex]$=\left(a c-b^2\right) \left(b c-a^2\right) \left(a b-c^2\right)$[/tex]

(sprawdź wymnażając nawiasy)

zatem jeśli lewa strona to zero z założenia to prawa też się zeruje a następuje to gdy iloczyn jakichś dwóch liczb spośród [tex]a,b,c[/tex] jest równy kwadratowi trzeciej liczby. Więc udało się pokazać nawet więcej, bo iloczyn dowolnych dwóch nie tylko jest kwadratem jest to kwadrat trzeciej pozostałej liczby.  

Inne Pytanie