Zad. 4
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym: r = 7,5
Długość przyprostokątnych: a, b i a = 9
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.
Długość przeciwprostokątnej: c = 2r = 2 · 7,5 = 15
Z tw. Pitagorasa obliczamy długość przyprostokątnej b:
a² + b² = c²
9² + b² = 15²
81 + b² = 225
b² = 225 - 81
b² = 144 i b > 0
b = √144
b = 12
Pole trójkąta prostokątnego
[tex]P = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{\not{2}_1} \cdot 9 \cdot \not{12}^6 = 54[/tex]
Odp. Pole trójkąta prostokątnego wynosi 54 j².
Zad. 5
Oznaczenia jak na rysunku w załączniku.
a)
|∡BDC| = 30°
Kąty BAC i BDC to kąty wpisane oparte na tym samym łuku, zatem:
|∡BAC| = |∡BDC|
α = 30°
Kąt ABC jest oparty na półokręgu, zatem jest to kąt prosty, czyli jego miara wynosi 90°, a trójkąt ABC to trójkąt prostokątny.
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi 180°.
α + |∡ABC| + β = 180°
30° + 90° + β = 180°
120° + β = 180°
β = 180° - 120°
β = 60°
Odp. α = 30° i β = 60°.
b)
|∡ADB| = 145°
Kąt ADB to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy α, zatem:
α = 2 · |∡ADB|
α = 2 · 145°
α = 290°
Kąt α i kąt wypukły AOB tworzą kąt pełny, czyli ich suma wynosi 360°. Zatem:
α + |∡AOB| = 360°
290° + |∡AOB| = 360°
|∡AOB| = 360° - 290°
|∡AOB| = 70°
Kąt β to kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy AOB. Stąd:
|∡AOB| = 2β
2β = 70° |:2
β = 35°
Odp. α = 290° i β = 35°.
