Zad. 1
Wykres funkcji f(x) = |x² - 3x - 4| otrzymujemy przez nałożenie wartości bezwzględnej na całą funkcję f(x) = x² - 3x - 4. Aby go narysować:
1. Rysujemy wykres funkcji f(x) = x² - 3x - 4, czyli parabolę y = x² - 3x - 4 z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 1 > 0 i przechodzącą przez punkty:
- punkt przecięcia z osią OY, czyli punkt (0, c) = (0, - 4)
- punkty przecięcia z osią OX:
Δ = (- 3)² - 4 · 1 · (- 4) = 9 + 16 = 25; √Δ = √25 = 5
[tex]x_1 = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{3-5}{2} =\frac{-2}{2} = - 1 \\ x_2 = \frac{-(-3) +5}{2 \cdot 1} = \frac{3+5}{2} =\frac{8}{2} = 4[/tex]
czyli punkty (- 1, 0) i (4, 0)
- wierzchołek paraboli W(p, q)
[tex]p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}=1 \frac{1}{2} \\ q = \frac{- \Delta}{4a} =\frac{-25}{4 \cdot 1} = -\frac{25}{4} =-6\frac{1}{4}[/tex]
czyli punkt W = (1¹/₂, - 6¹/₄)
2. Nakładamy wartości bezwzględnej na całą funkcję f(x), czyli część wykresu znajdującą się pod osią OX odbijamy symetrycznie nad tę oś i otrzymujemy wykres funkcji f(x) = |x² - 3x - 4| (Rys. 1 w zał.)
Zad. 2
|- x² + 4x| = 5
- x² + 4x = 5 lub - x² + 4x = - 5
- x² + 4x = 5
- x² + 4x - 5 = 0
Δ = 4² - 4 · (- 1) · (- 5) = 16 - 20 = - 4 < 0
Równanie nie ma rozwiązania.
- x² + 4x = - 5
- x² + 4x + 5 = 0
Δ = 4² - 4 · (- 1) · 5 = 16 + 20 = 36; √Δ = √36 = 6
[tex]x_1 = \frac{-4-6}{2 \cdot (-1)}= \frac{-10}{-2} = 5 \\ x_2 = \frac{-4+6}{2 \cdot (-1)}= \frac{2}{-2} = -1[/tex]
Zatem rozwiązanie równania |- x² + 4x| = 5 to: x = - 1, x = 5.
Zad. 3
a)
x² + 7x > 0
Miejsca zerowe:
x² + 7x = 0
x · (x + 7) = 0
x = 0 lub x + 7 = 0
x = 0 lub x = - 7
Uwzględniając ostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 1 > 0 (rys. 2 w zał.). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
x ∈ (- ∞, - 7) ∪ (0, + ∞)
b)
64 - x² ≥ 0
Miejsca zerowe:
64 - x² = 0
(8 - x)(8 + x) = 0
8 - x = 0 lub 8 + x = 0
- x = - 8 |·(-1) lub x = - 8
x = 8 lub x = - 8
Uwzględniając nieostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w dół, bo a = - 1 < 0 (rys. 3 w zał.). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
x ∈ ⟨- 8, 8⟩
