Odpowiedź :
Nie są to równania, są to działania na wyrażeniach wymiernych.
a)
[tex]\frac{x+4}{x^2- 100} \cdot \frac{x + 10}{6x^2+24}[/tex]
Dziedzina:
x² - 100 ≠ 0 i 6x² + 24 ≠ 0
x² - 100 ≠ 0
x² ≠ 100
x ≠√100 i x ≠ - √100
x ≠ 10 i x ≠ - 10
6x² + 24 ≠ 0
6x² ≠ - 24 |:6
x² ≠ - 4
x ∈ R
D = R \ {- 10, 10}
[tex]\frac{x+4}{x^2- 100} \cdot \frac{x + 10}{6x^2+24} =\frac{(x+4)(x + 10)}{(x^2- 100)(6x^2+24)} = \frac{(x+4)(x + 10)}{6(x- 10)(x+10)(x^2+4)} = \frac{x+4}{6(x- 10)(x^2+4)}[/tex]
b)
[tex]\frac{x-2}{(x+4)^2} \cdot \frac{4x+x^2}{2 - x}[/tex]
Dziedzina:
(x + 4)² ≠ 0 i 2 - x ≠ 0
(x + 4)² ≠ 0
x + 4 ≠ 0
x ≠ - 4
2 - x ≠ 0
- x ≠ - 2 |·(-1)
x ≠ 2
D = R \ {- 4, 2}
[tex]\frac{x-2}{(x+4)^2} \cdot \frac{4x+x^2}{2 - x} = \frac{(x- 2)(4x+x^2)}{(x+4)^2(2 - x)}=\frac{x(x- 2)(x+4)}{-(x+4)(x+4)(x-2)}=\frac{x}{-(x+4)}=-\frac{x}{x+4}[/tex]
c)
[tex]\frac{x^5}{x^2-6x + 5} : \frac{x^7}{x^2-1}[/tex]
Dziedzina:
x² - 6x + 5 ≠ 0 i x² - 1 ≠ 0 i x⁷ ≠ 0
x² - 6x + 5 ≠ 0
Δ = (- 6)² - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16; √Δ = √16 = 4
[tex]x_1 \neq \frac{-(-6) - 4}{2 \cdot 1} =\frac{6-4}{2} =\frac{2}{2} = 1 \\ x_2 \neq \frac{-(-6)+4}{2 \cdot 1} =\frac{6+4}{2} =\frac{10}{2} =5[/tex]
x ≠ 1 i x ≠ 5
x² - 1 ≠ 0
x² ≠ 1
x ≠ √1 i x ≠ - √1
x ≠ 1 i x ≠ - 1
x⁷ ≠ 0
x ≠ 0
D = R \ {- 1, 0, 1, 5}
[tex]\frac{x^5}{x^2-6x + 5} : \frac{x^7}{x^2-1} = \frac{x^5}{x^2-6x + 5} \cdot \frac{x^2-1}{x^7} = \frac{x^5(x^2-1)}{(x^2-6x + 5) \cdot x^7} = \frac{x^5(x-1)(x+1)}{(x -1)(x-5) \cdot x^5 \cdot x^2}=\frac{x+1}{x^2(x-5)}[/tex]
d)
[tex]\frac{x^2+4x+4}{6x^5-x^4} : \frac{x^2 - 4}{x^3}[/tex]
Dziedzina:
6x⁵ - x⁴ ≠ 0 i x³ ≠ 0 i x² - 4 ≠ 0
6x⁵ - x⁴ ≠ 0
x⁴(6x - 1) ≠ 0
x⁴ ≠ 0 i 6x - 1 ≠ 0
x ≠ 0 i 6x ≠ 1 |:6
x ≠ 0 i x ≠ ¹/₆
x³ ≠ 0
x ≠ 0
x² - 4 ≠ 0
x² ≠ 4
x ≠ √4 i x ≠ - √4
x ≠ 2 i x ≠ - 2
D = R \ { - 2, 0, ¹/₆, 2}
[tex]\frac{x^2+4x+4}{6x^5-x^4} : \frac{x^2 - 4}{x^3}=\frac{x^2+4x+4}{6x^5-x^4} \cdot \frac{x^3}{x^2-4}=\frac{(x^2+4x+4) \cdot x^3}{(6x^5-x^4)(x^2-4)} = \frac{(x+2)^2 \cdot x^3}{x^4(6x-1)(x - 2)(x+2)} = \\\\ = \frac{x^3 \cdot (x+2)(x+2)}{x^3 \cdot x^1 \cdot (6x-1)(x - 2)(x+2)} =\frac{x+2}{x(6x-1)(x - 2)}[/tex]