Odpowiedź :
A)
[tex]x : 5 = y\ \textup{r.}\ 3 \iff 5y + 3 = x[/tex]
Wiadomo, że najmniejszą liczbą naturalną spełniającą założenie zadania jest liczba, która podzielona przez [tex]5[/tex] daje [tex]0\ \textup{r.}\ 3[/tex]. Obliczmy ją:
[tex]5 \cdot 0 + 3 = 3[/tex]
Każda kolejna taka liczba musi być o [tex]5[/tex] większa od poprzedniej.
A zatem mamy ciąg [tex]a_n = 3 + (n - 1) \cdot 5 = 3 + 5n - 5 = 5n - 2[/tex].
Generalnie ciąg liczb naturalnych, których resztą z dzielenia przez [tex]p[/tex] jest [tex]q[/tex], ma wzór [tex]a_n = pn + (q - p)[/tex], zaś [tex]a_1 = q[/tex]. :)
[tex]100 : 5 = 20[/tex], a zatem największą liczbą zgodną z założeniami zadania jest liczba, która podzielona przez [tex]5[/tex] daje [tex]19\ \textup{r.}\ 3[/tex]:
[tex]5 \cdot 19 + 3 = 98[/tex]
Którym wyrazem ciągu jest wyraz [tex]98[/tex]?
[tex]98 = 5n - 2\\5n = 98 + 2 = 100\\n = 100:5 = 20[/tex]
Obliczamy sumę pierwszych dziewiętnastu wyrazów ciągu ze wzoru [tex]S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n[/tex]:
[tex]S_{19} = \frac{3 + 98}{2} \cdot 20 = 1010[/tex]
Suma wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3, wynosi 1010.
B)
Pierwszy ciąg
[tex]a_1 = 4\\100 : 6 = 16\ \textup{r.}\ 4\\a_x = 6 \cdot 15 + 4 = 94\\a_n = 6n - 2\\94 = 6x - 2 \implies x = \frac{94 + 2}{6} = 16\\S_{16} = \frac{4 + 94}{2} \cdot 16 = 784[/tex]
Drugi ciąg
[tex]a_1 = 5\\a_x = 6 \cdot 15 + 5 = 95\\a_n = 6n - 1\\95 = 6x - 1 \implies x = \frac{95 + 1}{6} = 16\\S_{16} = \frac{5+95}{2}\cdot 16 = 800[/tex]
Dodajemy obie sumy
[tex]784 + 800 = 1584[/tex]
Suma wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, których reszta z dzielenia przez 6 jest równa 4 lub 5, wynosi 1584.
