Odpowiedź :
Zauważ, że dla [tex]a,\ b,\ c,\ d \in \mathbb{N}[/tex]:
[tex]a : b = c\ \textup{r.}\ d \iff a = bc + d\\[/tex]
Tak więc
[tex]x : 4 = k\ \textup{r.}\ 1 \iff x = 4k + 1[/tex]
I analogicznie
[tex]y = 4l + 2\\z = 4m + 3[/tex]
Obliczamy sumę kwadratów liczb [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] i [tex]z[/tex] (czyli liczbę [tex]a[/tex]), podstawiając pod te symbole odpowiednie dwumiany:
[tex]x^2 + y^2 + z^2 =\\(4k + 1)^2 + (4l + 2)^2 + (4m + 3)^2 =\\16k^2 + 8k + 1 + 16l^2 + 16l + 4 + 16m^2 + 24m + 9 =\\16k^2 + 8k + 16l^2 + 16l + 16m^2 + 24m + 14[/tex]
Uzyskaną w ten sposób sumę algebraiczną doprowadzamy do postaci [tex]bc + d[/tex], gdzie [tex]b = 4[/tex], zaś [tex]d \in \{1,\ 2,\ 3\}[/tex] (jako że reszta z dzielenia przez [tex]4[/tex] nie może być większa niż [tex]3[/tex]):
[tex]16k^2 + 8k + 16l^2 + 16l + 16m^2 + 24m + 14 =\\4(4k^2 + 2k + 4l^2 + 4l + 4m^2 + 6m) + 14 =\\4(4k^2 + 2k + 4l^2 + 4l + 4m^2 + 6m) + 4 \cdot 3 + 2 =\\4(4k^2 + 2k + 4l^2 + 4l + 4m^2 + 6m + 3) + 2[/tex]
Wniosek: liczba [tex]x^2 + y^2 + z^2[/tex] podzielona przez [tex]4[/tex] daje pewną liczbę określoną wzorem [tex]4k^2 + 2k + 4l^2 + 4l + 4m^2 + 6m + 3[/tex], reszty [tex]2[/tex].
Odpowiedź:
Resztą z dzielenia sumy kwadratów liczb [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] i [tex]z[/tex] przez [tex]4[/tex] jest [tex]2[/tex].
