2.173.
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej należy do zbioru [tex]\langle 0,\ +\infty)[/tex]. Jeśli zatem [tex]a,\ b \in \mathbb{R}\\[/tex], to zachodzi następująca nierówność:
[tex](a + b)^2 \geq 0\\a^2 + 2ab + b^2 \geq 0\\a^2 + b^2 \geq -2ab[/tex]
Skoro [tex]ab \in (-\infty,\ -3 \rangle[/tex], to największa wartość, jaką w powyższej nierówności może przybrać [tex]-2ab[/tex], jest równa [tex]-2 \cdot (-3) = 6[/tex].
Zatem prawdą jest, że [tex]a^2 + b^2 \geq 6[/tex].
2.174.
Jeśli [tex]a,\ b \in \mathbb{R}[/tex], to:
[tex]\left( a^2 - b^2 \right) ^2 \geq 0\\a^4 - 2a^2b^2 + b^4 \geq 0\\a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2[/tex]
Jeśli [tex]a^2b^2 \in \langle7,\ \infty)[/tex], to minimalną wartością, jaką może przybrać wyrażenie [tex]2a^2b^2[/tex], jest [tex]2 \cdot 7 = 14[/tex].
To z kolei stanowi dowód, że [tex]a^4 + b^4 \geq 14[/tex].
