Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
a) Wyznaczmy dziedzinę: mianownik musi być różny od 0, zatem:
[tex]x-7\neq 0 //+7\\x\neq 7[/tex]
D=R \ {7}
Równanie będzie zerem, tylko wtedy, gdy licznik będzie zerem. Zatem:
[tex]x+5=0//-5[/tex]
[tex]x=-5[/tex] ∈ D
b) Wyznaczmy dziedzinę: mianownik musi być różny od 0, zatem:
[tex]x+2\neq 0//-2\\x\neq -2[/tex]
D=R \ {-2}
[tex]\frac{3x+2}{x+2}=2 //*(x+2)\\3x+2=2(x+2)\\3x+2=2x+4//-2-2x[/tex]
[tex]x=2[/tex] ∈ D
c) Wyznaczmy dziedzinę: mianownik musi być różny od 0, zatem:
[tex]4x-7\neq 0//+7\\4x\neq 7//:4\\x\neq \frac{7}{4}\\x\neq 1\frac{3}{4}[/tex]
D=R \ {[tex]1\frac{3}{4}[/tex]}
[tex]\frac{5x}{4x-7}<2//-2\\\frac{5x}{4x-7}-2<0\\\frac{5x}{4x-7}-\frac{2*(4x-7)}{4x-7}<0\\\frac{5x}{4x-7}-\frac{8x+7}{4x-7}<0\\\frac{5x-(8x+7)}{4x-7}<0\\\frac{5x-8x-7}{4x-7}<0\\\frac{-3x-7}{4x-7}<0[/tex]
Sprawdźmy najpierw kiedy powyższa zredukowana nierówność jest równa 0.
[tex]\frac{-3x-7}{4x-7}=0[/tex]
Teraz przejdźmy na iloczyn i wyznaczmy miejsca zerowe.
[tex](-3x-7)(4x-7)=0[/tex]
Powyższa równość jest zerem, gdy jeden bądź drugi czynnik jest zerem, zatem:
[tex]-3x-7=0//+7\\-3x=7//:(-3)\\x=-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3}[/tex]
lub
[tex]4x-7=0//+7\\4x=-//:4\\x=\frac{7}{4}\\x=1\frac{3}{4}[/tex]
Teraz nasze rozwiązania przenieśmy na wykres (parabola z ramionami skierowanymi w dół) (patrz rysunek)
Odczytując z wykresu mamy: x = (-∞; [tex]-2\frac{1}{3}[/tex]) ∪ ([tex]1\frac{3}{4}[/tex]; ∞)
d) Wyznaczmy dziedzinę: mianownik musi być różny od 0
[tex]2x-1\neq 0//+1\\2x\neq 1//:2\\x\neq \frac{1}{2}[/tex]
D=R \ {[tex]\frac{1}{2}[/tex]}
Sprawdźmy najpierw kiedy nierówność z podpunktu d jest równa 0.
[tex]\frac{3}{2x-1}=0[/tex]
Teraz przejdźmy na iloczyn i wyznaczmy miejsca zerowe.
[tex]3(2x-1)=0//:3\\2x-1=0//+1\\2x=1//:2\\x=\frac{1}{2}[/tex]
Teraz nasze rozwiązania przenieśmy na wykres (parabola z ramionami skierowanymi w dół) (patrz rysunek)
Odczytując z wykresu mamy: x = (-∞; [tex]\frac{1}{2}[/tex])
