Zad. 1.
a)
[tex]x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1\\x^2 - 2x + 1 \neq 0\\\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0\\x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1\\D : x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}[/tex]
[tex]\frac{x+2}{x-1}+ \frac{4x^2 - 2x}{x^2-2x+1} = \\\frac{(x+2)(x^2 - 2x + 1)}{(x-1)(x^2 - 2x + 1)} + \frac{(4x^2 - 2x)(x - 1)}{(x^2 - 2x + 1)(x - 1)} =\\\frac{x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 -4x + 2 + 4x^3 - 4x^2 - 2x^2 + 2x}{x^3 - 2x^2 + x - x^2 + 2x - 1} =\\\frac{5x^3 - 6x^2 - 3x + 2}{x^3 - 3x^2 +3x - 1}[/tex]
b)
[tex]x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2\\x \neq 0\\D: x \in \mathbb{R} \setminus \{0,\ 2\}[/tex]
[tex]\frac{1}{x - 2}-\frac{2}{x} =\\\frac{x}{x(x-2)} - \frac{2(x - 2)}{x(x - 2)} =\\\frac{x - (2x - 4)}{x^2 - 2x} =\\\frac{x - 2x + 4}{x^2 - 2x} =\\\frac{- x + 4}{x^2 - 2x}[/tex]
c)
[tex]2x + 2 \neq 0\\2x \neq -2\\x \neq -1\\3x - 3 \neq 0\\3x \neq 3\\x \neq 1\\D: x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}[/tex]
[tex]\frac{x^2 - 1}{2x + 2} \cdot \frac{4}{3x - 3} = \\\frac{4(x^2 - 1)}{(2x + 2)(3x - 3)} =\\\frac{4x^2 - 4}{6x^2 - 6x + 6x - 6} =\\\frac{4x^2 - 4}{6x^2 - 6} =\\\frac{2(2x^2 - 2)}{2(3x^2 - 3)} =\\\frac{2x^2 - 2}{3x^2 - 3}[/tex]
d)
[tex]5x + 10 \neq 0 \\5x \neq - 10\\x \neq -2\\10x^2 - 40 \neq 0 \\\Delta = - 4 \cdot 10 \cdot (-40) = 1600\\\sqrt{\Delta} = 40 \lor \sqrt{\Delta} = -40\\x_1 = \frac{40}{2 \cdot 10} = \frac{40}{20} = 2\\x_2 = \frac{-40}{20} = -2\\D: x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}[/tex]
[tex]\frac{3x - 3}{5x + 10} : \frac{3x^2 - 3}{10x^2 - 40} =\\\frac{3x - 3}{5x + 10} \cdot \frac{10x^2 - 40}{3x^2 - 3}=\\\frac{3(x - 1)}{5(x+2)} \cdot \frac{5(2x^2 - 8)}{3(x^2 - 1)} =\\\frac{(x-1)(2x^2 - 8)}{(x+2)(x^2 - 1)} = \\\frac{2x^3 - 8x - 2x^2 + 8}{x^3 - x + 2x^2 - 2} =\\\frac{2x^3 - 2x^2 - 8x + 8}{x^3 + 2x^2-x - 2}[/tex]
Zad. 2.
a)
[tex]x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2\\x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1\\D: x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 1\}[/tex]
[tex]\frac{1}{x+2} - \frac{2}{x - 1} = 1\\\frac{x-1}{(x+2)(x-1)} - \frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} =\\\frac{x-1 - (2x + 4)}{x^2 - x + 2x - 2} =\\\frac{x - 1 - 2x - 4}{x^2 + x - 2} =\\\frac{-x-5}{x^2 + x - 2} = 1[/tex]
[tex]-x - 5 = x^2 + x - 2\\0 = x^2 + 2x + 3\\\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8\\\Delta < 0 \implies x \in \varnothing[/tex]
b)
[tex]x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1\\x + 1 \neq 0 \implies x \neq - 1\\D: x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}[/tex]
[tex]\frac{x+2}{x-1} = \frac{5x + 2}{x + 1} \\(x-1)(5x + 2) = (x+2)(x + 1)\\5x^2 + 2x - 5x - 2 = x^2 + x + 2x + 2\\4x^2 - 6x - 4 = 0\\\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 36 + 64 = 100\\\sqrt{\Delta} = -10 \lor \sqrt{\Delta} = 10\\x_1 = \frac{-(-6) - 10}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = - \frac{1}{2} \\x_2 = \frac{-(-6) + 10}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2[/tex]
Zad. 3.
[tex]x - 3\neq 0 \implies x \neq 3\\D: x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}[/tex]
a)
Wytyczam parę punktów i nanoszę je, wraz z wyliczonym w następnym podpunkcie miejscem zerowym oraz asymptotami, na oś liczbową; sporządzam wykres jak na zdjęciu.
[tex]f(-1) = \frac{2}{-1 - 3} - 4 = \frac{2}{-4} - 4 = -4\frac{1}{2} \\f(0) = \frac{2}{0 - 3} - 4 = \frac{2}{-3} - 4 = -4\frac{2}{3} \\f(1) = \frac{2}{1 - 3} - 4 = \frac{2}{-2} - 4 = -1 - 4 = -5 \\f(2) = \frac{2}{2 - 3} - 4 =\frac{2}{-1} - 4 = -2 - 4 = -6 \\f(4) = \frac{2}{4 - 3} -4 = \frac{2}{1} - 4 = 2 - 4 = -2\\f(5) = \frac{2}{5 - 3} - 4 = \frac{2}{2} - 4 = 1 - 4 = -3\\f(6) = \frac{2}{6 - 3} - 4 = \frac{2}{3} - 4 = -3\frac{1}{3}[/tex]
b)
[tex]0 = \frac{2}{x - 3} - 4\\4 = \frac{2}{x - 3} \\4(x - 3) = 4x - 12 = 2\\4x = 2 + 12 = 14\\x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}[/tex]
c)
Funkcja jest malejąca w przedziale [tex](-\infty,\ 3) \cup (3,\ \infty)[/tex].
d)
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla [tex]x \in (3,\ 3\frac{1}{2} )[/tex]
Zad. 4.
Piotr w ciągu [tex]1\ \textup{h}[/tex] może pomalować [tex]\frac{1}{8}[/tex], a Krzyś [tex]\frac{1}{16}[/tex] całkowitej powierzchni.
Suma wydajności godzinowej Piotra i Krzysia wynosi:
[tex]\frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}[/tex]
Oznacza to, że współpracując, w ciągu [tex]1\ \textup{h}[/tex] są w stanie pomalować [tex]\frac{3}{16}[/tex] całkowitej powierzchni.
Liczę z proporcji:
[tex]\frac{3}{16}[/tex] --- [tex]1\ \textup{h}[/tex]
[tex]1[/tex] --- [tex]x[/tex]
[tex]\frac{3x}{16} = 1\ \textup{h}\\3x = 16\ \textup{h}\\x = \frac{16}{3} \ \textup{h} = 5\frac{1}{3} \ \textup{h}[/tex]
