Oznaczenia jak na rysunku w załączniku
Długość boków trójkąta ABC: |AB| = 10 cm, |AC| = 17 cm, |BC| = 21 cm
a)
Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta i w trójkącie
- ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta
- prostokątnym leży dokładnie na środku przeciwprostokątnej
- rozwartokątnym leży poza trójkątem
To czy trójkąt jest prostokątny z tw. sprawdzamy z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa:
„Jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków w trójkącie a i b równa jest kwadratowi najdłuższego boku c, to ten trójkąt jest prostokątny”:
a² + b² = c² to trójkąt jest prostokątny
Natomiast, jeśli:
a² + b² > c² to trójkąt jest ostrokątny
a² + b² < c² to trójkąt jest rozwartokątny
----------
|AB| = 10 cm < |AC| = 17 cm < |BC| = 21 cm
|AB|² + |AC|² = 10² + 17² = 100 + 289 = 389
|BC|² = 21² = 441
389 < 441
|AB|² + |AC|² < |BC|²
Zatem trójkąt ABC jest trójkątem rozwartokątnym, a to oznacza, że środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży poza tym trójkątem.
Odp. Środek okręgu opisanego na danym trójkącie leży poza tym trójkątem.
b)
Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC: R = 10⁵/₈ cm = 10,625 cm
Odległości środka O okręgu opisanego na trójkącie od boków trójkąta ABC, to długość odcinków DO, EO i FO, które są prostopadłe odpowiednio do boków AB, BC i AC, a ich końcami jest środek O okręgu opisanego na trójkącie i punkt wspólny danego odcinka z odpowiadającym mu bokiem trójkąta ABC.
Zauważamy, że odcinki DO, EO i FO to wysokości odpowiednio trójkątów równoramiennych AOB, BOC i AOC o podstawach odpowiednio AB, BC i AC będącymi bokami trójkąta ABC i ramionach długości R, czyli długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Zatem długość odcinków DO, EO i FO możemy obliczyć korzystając z tw. Pitagorasa.
Długość odcinka DO
|DO|² + (¹/₂ · |AB|)² = R²
|DO|² + (¹/₂ · 10)² = (10,625)²
|DO|² + 5² = (10,625)²
|DO|² = (10,625)² - 5²
|DO|² = (10,625 - 5)(10,625 + 5)
|DO|² = 5,625 · 15,625
|DO| = √(5,625 · 15,625) [korzystamy z kalkulatora]
|DO| = 9,375 cm
Długość odcinka EO
|EO|² + (¹/₂ · |BC|)² = R²
|EO|² + (¹/₂ · 21)² = (10,625)²
|EO|² + (10,5)² = (10,625)²
|EO|² = (10,625)² - (10,5)²
|EO|² = (10,625 - 10,5)(10,625 + 10,5)
|EO|² = 0,125 · 21,125
|EO| = √(0,125 · 21,125) [korzystamy z kalkulatora]
|EO| = 1,625 cm
Długość odcinka FO
|FO|² + (¹/₂ · |AC|)² = R²
|FO|² + (¹/₂ · 17)² = (10,625)²
|FO|² + (8,5)² = (10,625)²
|FO|² = (10,625)² - (8,5)²
|FO|² = (10,625 - 8,5)(10,625 + 8,5)
|FO|² = 2,125 · 19,125
|FO| = √(2,125 · 19,125) [korzystamy z kalkulatora]
|FO| = 6,375 cm
Odp. Odległości środka okręgu opisanego na danym trójkącie od jego boków wynoszą: 9,375 cm; 1,625 cm i 6,375 cm.
