Odpowiedź:
a) TAK
b) NIE
c) NIE
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ciąg jest arytmetyczny, jeśli różnica między jego kolejnymi wyrazami jest stała (jest zawsze tą samą liczbą rzeczywistą).
Zaczynamy od sprawdzenia, czy pierwsze trzy wyrazy podanego ciągu spełniają ten warunek. Jeżeli nie, to ciąg nie jest arytmetyczny.
Jeśli tak, to wyznaczamy wyraz [tex]a_{n+1}[/tex] i sprawdzamy, czy różnica [tex]a_{n+1}-a_n[/tex] jest liczbą rzeczywistą (niezależną od n):
a)
[tex]a_1=3\cdot1-2=3-2=1\\a_2=3\cdot2-2=6-2=4\\a_3=3\cdot3-2=9-2=7\\\\a_2-a_1=4-1=3\\a_3-a_2=7-4=3[/tex]
Zgadza się, więc wyznaczamy [tex]a_{n+1}[/tex]
[tex]a_{n+1}=3(n+1)-2=3n+3-2=3n+1\\\\a_{n+1}-a_n=3n+1-(3n-2)=3n+1-3n+2=3[/tex]
Co oznacza, że bez względu na n różnica jest równa 3, czyli ciąg jest arytmetyczny.
b)
[tex]b_1=3\cdot1^2-2=3-2=1\\b_2=3\cdot2^2-2=12-2=10\\b_3=3\cdot3^2-2=27-2=25\\\\b_2-b_1=10-1=9\\b_3-b_2=27-10=17\ne9[/tex]
Nie zgadza się, więc ciąg nie jest arytmetyczny.
c)
[tex]c_1=\frac11=1\\{}\ c_2=\frac12\\c_3=\frac13\\\\c_2-c_1=\frac12-1=-\frac12\\c_3-c_2=\frac13-\frac12=\frac26-\frac36=-\frac16\ne-\frac12[/tex]
Czyli ciąg nie jest arytmetyczny
