Odpowiedź:
[tex]m=23\\n=-15\\x_1=x-5\\x_2=x-3\\x_3=x-1[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zakładamy że pierwiastek [tex]x_{1}[/tex] ma postać:
[tex]x_1=x+a[/tex]
Zatem:
[tex]x_2=x_1+2=x+a+2\\x_3=x_1+4=x+a+4[/tex]
Skoro tak, możemy wielomian w(x) przedstawić w postaci:
[tex]w_{(x)}=x_1 x_2 x_3=(x+a)(x+a+2)(x+a+4)[/tex]
Wymnażając nawiasy i upraszczając, otrzymujemy:
[tex]w_{(x)}=x^3+3(a+2)x^2+(3a^2+12a+8)x+(a^3+6a^2+8a)[/tex]
Porównując otrzymane wyrażenie z oryginalnym wielomianem:
[tex]w_{(x)}=x^3-9x^2+mx+n[/tex]
zauważamy że aby te wielomiany były równe, współczynniki przy odpowiednich potęgach także muszą być sobie równe. A więc:
[tex]3(a+2)=-9\\ 3a^2+12a+8=m\\a^3+6a^2+8a=n[/tex]
Z pierwszego równania otrzymujemy współczynnik a:
[tex]3(a+2)=-9\\a+2=-3\\a=-5[/tex]
Podstawiając do pozostałych równań:
[tex]m=3(-5)^2+12(-5)+8=75-60+8=23\\n=(-5)^3+6(-5)^2+8(-5)=-125+150-40=-15[/tex]
Podstawiając współczynnik a, otrzymujemy również miejsca zerowe:
[tex]x_1=x+a=x-5\\x_2=x+a+2=x-3\\x_3=x+a+4=x-1[/tex]
