Odpowiedź:
[tex]\frac{52-32\sqrt{2} }{3}[/tex]≅[tex]2,24839[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Obszar całkowania przedstawiony został w załączniku.
Na początku definiujemy obszar wyznaczając jego granice
Wyznaczmy przedział pierwszy. Widzimy zmianę x od 2 do [tex]2\sqrt{2}[/tex]. W tym przedziale obliczymy całkę z [tex]x^{2}[/tex] (otrzymamy pole pod parabolą w tym przedziale) oraz całkę z 2x (otrzymamy pole pod prostą y=2x w tym przedziale). Różnica tych całek jest szukanym polem powierzchni w przedziale pierwszym. Możemy więc zapisać:
[tex]\int\limits^{2\sqrt{2}} _2 {(x^{2} -2x)} \, dx =[\frac{x^3}{3} -x^2]^{2\sqrt{2} } _{2} =\frac{4}{3} *(4\sqrt{2} -5)[/tex]
Teraz rozważmy drugi przedział. Widzimy że x zmienia się od [tex]2\sqrt{2}[/tex] do 4.
W tym przedziale obliczymy całkę z 8 (otrzymamy pole pod krzywą y=8, czyli pole prostokąta w tym przedziale) oraz całkę z 2x (otrzymamy pole pod krzywą y=2x w przedziale drugim) Różnica tych całek jest szukanym polem powierzchni w przedziale drugim. Możemy więc zapisać:
[tex]\int\limits^4_{2\sqrt{2}} {(8-2x)} \, dx =[8x-x^{2} ]^{4} _{2\sqrt{2} } =24-16\sqrt{2}[/tex]
Suma wyznaczonych pół powierzchni jest szukanym polem, więc:
[tex]\frac{4}{3} *(4\sqrt{2} -5)+24-16\sqrt{2} =\frac{52-32\sqrt{2} }{3}[/tex]
W załączniku interpretacja graficzna.
