Odpowiedź:
Nie istnieje taka wartość parametru [tex]m[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
Δ = [tex]m^{2}-4m+4-4*2(4m-2)=m^{2} -4m+4-32m+16=m^{2} -36m+20[/tex]
Aby trójmian miał dwa różne pierwiastki, musi być spełniony warunek:
Δ > 0, stąd:
[tex]m^{2} -36m+20>0[/tex]
Δ[tex]_{m}[/tex] = [tex]1296-4*1*20=1216[/tex]
[tex]m_{1} = \frac{36-8\sqrt{19} }{2} = 18-4\sqrt{19} \\m_{2} = \frac{36+8\sqrt{19} }{2} = 18+4\sqrt{19}[/tex]
Zatem:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-\infty, 18-4\sqrt{19})[/tex] ∨ [tex](-\infty, 18+4\sqrt{19})[/tex]
Iloczyn pierwiastków równania ma być równy ich sumie, więc ze wzorów Viete'a mamy:
[tex]x_{1}*x_{2}=x_{1}+x_{2}[/tex]
[tex]\frac{c}{a} =-\frac{b}{a}[/tex]
Mnożymy obustronnie przez [tex]a[/tex] [tex](a\neq 0)[/tex] i dostajemy:
[tex]c=-b[/tex]
Podstawiamy wartości z równania:
[tex]4m-2=2-m\\5m=4\\m=\frac{4}{5}[/tex]
Rozwiązanie to nie należy do wyżej wyznaczonej dziedziny (oznacza to, że gdy [tex]m=\frac{4}{5}[/tex], to trójmian nie ma dwóch różnych pierwiastków).
Zatem:
[tex]m[/tex] ∈ ∅.